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série entière

Posté par
fusionfroide 20-01-07 à 19:28

Salut

On considère 4$\sum \frac{1}{n(n+1)(2n+1)}x^{2n+2}

Si je veux calculer la somme de cette série entière, je supposue qu'une décomposition en éléments simples convient, non (à quelques précisions près sur les rayons de convergence)

Mais le 4$x^{2n+2} me gêne, comment le gérer pour calculer la somme ?

Merci

Posté par
Cauchyre : série entière 20-01-07 à 19:36

Salut,

ca doit pas te gener tu peux tres bien le sortir de la somme.

Posté par
fusionfroidere : série entière 20-01-07 à 19:38

Gracias

Je viens de ressortie mes TD tout poussièreux et effectivement...ça marche

A+

Posté par
Cauchyre : série entière 20-01-07 à 19:40

Enfin je voulais dire juste sortir le x^2 pas le tout

Posté par
Ksilverre : série entière 20-01-07 à 19:40

Salut !


c'est assez calculatoire comme serie ca dis donc...

il va falloir faire plusieur manipulation succesive pour arriver au résultat :S !

dans l'ordre,sauf erreur il faudrait :

diviser par x, dériver, faire le changement de variable X=x² multiplier par X et dériver deux fois. et la normalement tu arrive (si je ne me suis pas trompé) à la seri de 1/(1-x)... il ne tereste plus qua refaire toutes les manipulation dans l'autre sens (en faisant attention aux constantes d'intégration a chaque etape ! ) pour remonter a la serie de départ !


mais le calcule est completement monstrueux, et apparement le résultat est assez compliqué...

Posté par
Cauchyre : série entière 20-01-07 à 19:43

Salut Ksilver,

tu connais pas un logiciel ou bien une page web qui te permet de te donner les fonctions à partir de la série entière?

Posté par
Ksilverre : série entière 20-01-07 à 19:46

Si, tous les logiciel de calcule formel (Maple, Mathematica) font ceci, pour les serie "assez simple" comme celle la, les calculatrice qui font du calcule formel y arrive peut etre.

en revanche pour ce qui est des pages web j'en connais pas :S

Posté par
Ksilverre : série entière 20-01-07 à 19:48

Mouai non, pour les calculatrices oublie, ca ne marche pas. (meme pour les series les plus simple)

Posté par
fusionfroidere : série entière 20-01-07 à 19:56

Salut Ksilve, je ne vois pas trop pourquoi tu parles de dérivation !

4$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(2n+1)}x^{2n+2}=\sum_{n=1}^{\infty} (\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}-\frac{4}{2n+1})x^{2n+2}

Comme on a le même rayon de convergence, on a :

4$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(2n+1)}x^{2n+2}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}x^{2n+2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+1}x^{2n+2}-4\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n+1}x^{2n+2}

Et là il suffit de développer assez facilement en série entière, à part pour la dernière somme où il faut faire quelques petits calculs (c'est peut-être de ça que tu parlais)

Posté par
Ksilverre : série entière 20-01-07 à 20:02

c'est l'autre methode. mais en dérivant tu fais sortir des (2n+1), (n+1) et n qui font dispraitre ceux du dénominateur et donc apres 3 dérivation et quelque changement de variable tu arrive rapidement a la seri géométrique classique, la difficulté et de remontrer (en integrant) apres, mais je pense que les deux methodes sont a peu pres aussi longues. (d'un coté une serie d'intégration a faire, de l'autre dévelopement en élement simple et trois serie entière à calculer)

Posté par
Ksilverre : série entière 20-01-07 à 20:03

de toute facon, le résultat n'est pas simple, donc les calcule pour y arriver sont forcement un peu compliqué ^^


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