Salut !

sa ne marche pas sa :

on commence par déveloper exp(t²), puis on l'intégre, puis on dévelope exp(-x²), et on fait le produit de cauchy ?

Bonjour à tous

si on veut, on peut aussi chercher une équation différentielle simple dont f est solution.

Kaiser

hum oui, c'est effectivement beaucoup plus intelligent !

f(0)=0 donc a₀ = 0;
après on dérive f et on rémarque que
f'(x) = 1-2*x*f(x),
qui donne que a₁ = 1 et en plus on a la rélation de reccurence entre les coefficients.
Cette reccurence est facile à resodre.

plus intelligent, je ne sais pas mais peut-être moins moche au niveau calcul (quand on n'aime pas trop les calculs bourrins comme moi )

Kaiser

désolé mais je ne vois pas de quelle relation de récurrence vous parlez

Bonjour

Nike > tu n'as jamais utilisé cette méthode, dite de l'équation différentielle, pour développer une fonction en série entière ?

Kaiser

et bien f'(x)+2*x*f(x)=1


une fois qu'on a justifier que f est dévelopable en serie entiere (c'est la que ce que j'ai dit dans mon premier message est utile ^^ finalement, ca sert quand meme :p)

on ecrit que f(x)=somme des an*x^n.

f'(x)= somme des (n+1)a(n+1)*x^n
2*x*f(x)=sommes des 2*a(n-1)x^n pour n>0

et  f'(x)+2*x*f(x)=1, donc par unicité du dévelopement en serie entiere :

(n+1)a(n+1)+2*a(n-1) =0 des que n>1

tu as donc une relation de récurence d'ordre 2... faudrat aussi calculer a1=f'(0), tu le trouve en utilisant l'équation différentielle !

Ksilver > il me semble que le fait que f soit développable en série entière découle immédiatement de l'unicité de la solution de cette équation différentielle qui s'annule en 0.

Kaiser

si mais je dois avouer que je n'ai pas très bien saisi la méthode  

Nike>>> il y a quelque chose que tu n'as pas compris dans mon post ?


Kaiser  >>> ouai on peut aussi commencer par supposer que f est DSE, donner les coeficient, puis faire rapidement une CS ou l'on vérifie que les coeficient donné plus haut définisse bien une fonction et que celle ci est égal a f.

mais je trouve que, quand c'est possible, c'est plus simple de commencer par dire que f est DSE, et calculer directement ces coeficients non ?

je comprends qu'on a f(x)=a_n*xⁿ

donc on doit exprimer a_n

Or (n+1)a(n+1)+2*a(n-1) =0 des que n>1
donc a_n=-2*a_n-2/n

mais je ne vois pas à quoi cela va nous servir en fait