Bonjour

une série entière est de classe C1 dans sont disque ouvert de convergence
(O,R) si vous être sur C (complexes) ou ]-R,R[ si vous ête sur R.

En fait, la somme de la série entière est de classe Coo sur son disque
de convergence.

c'est une conséquence de la convergence normale de la série entière sur
sont disque ouvert.

pour l'appliquer à la série exp le rayon de convergence est infini
et donc la somme exp(z) de la série entière de terme général (z^n/n!)
est de classe C1 sur R (ou C selon votre cas).

voila bon courage.

merci katik
mais je penser que je devais montrer que la différentielle est continue
car je ne vois pas où j'utilise la différentiabilité et c'est
pour du calcul diff peux-tu m'expliquer merci d'avance

désolé pour avoir écorché ton pseudo watik

watik
si S est la somme de la série entière, alors l'application S est
continue sur le disque ouvert (0,R) (gràce à la convergence normale)
en plus, la série entière dérivée d'une série entière à le même
rayon de convergence que celle-ci, la série d'application de
la dérivée converge normalemt sur B(0,R) on en déduit que S est de
classe C1 es-tu d'accord?

absolument

mais pour comprendre ce que vous essayez de résoudre, pouvez vous m'indiquer
l'énoncé suffisament complet?

l'énoncé est ainsi
Comment montrer qu'une série entière est de classe C1
C'est pour un oral de calcul diff, et on a vu en cours une application
est de classse C1 si ses différentielles (ici ce sera la dérivé)
sont continues
pour cela, je dois montrer que la série est continue sur le disque de
convergence et de même pour la dérie entière dérivée
mais comment?

Mais si tu montres qu'elle est dérivable, il est légitime de
pouvoir calculer sa dérivée non?

Si tu calcules la primitive de ta somme , la convergence étant toute
belle-> convergence normale, donc tu as le droit d'intégrer
terme à terme. Tu cherches la primitive qui vaut 1 en 0, et tu montres
que tu tombes encore sur S. Dans ce cas il est clair que S est Cinfini.
(en tout cas S est C1)

Qu'est ce que t'en penses?

en fait d'après watik c'est une conséquence de la convergence
normale de la série entière mais je ne vois pas le déroulement de
sa pensée sachant que   fn converge normalement
ssi     IIfnIIoo converge si watik ou autre
pouvait m'éclaircir
merci

la réponse de Otto est très suffisante.