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Série entière

Posté par Profil Ramanujan 09-10-18 à 01:06

Bonsoir,

Je tente cet exo même si j'ai pas encore étudié en profondeur le cours sur les séries entières, j'ai les définitions sous la main. J'ai des difficultés.

Soit f une fonction à valeurs réelles définie sur un intervalle I ouvert contenant 0. On rappelle que f est développable en série entière au voisinage de 0 s'il existe un nombre réel R>0 et une suite (a_n) de nombre réels tel que : ]-R,R[ \subset I et :

\forall x \in ]-R,R[ , f(x)=\sum_{n=0}^{+ \infty} a_n x^n

1/ Démontrer que la fonction \dfrac{x}{1+x} est développable en série entière au voisinage de 0. Préciser son développement et donner le rayon de convergence.

J'ai \forall x \ne -1 , \forall n \in \N :

\sum_{k=0}^{n} (-x)^k = \dfrac{1-(-x)^{n+1}}{1+x}

Donc :

\dfrac{1}{1+x} =\sum_{k=0}^{n} (-1)^k x^k + \dfrac{(-1)^{n+1}x^{n+1}}{1+x}

Or : \forall x \in ]-1,1[ x^{n+1} \rightarrow 0

On obtient :

\dfrac{1}{1+x} =\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n  

Je n'arrive pas à prouver que le rayon de convergence vaut 1

Posté par
luzakre : Série entière 09-10-18 à 08:51

1. Une relation du genre

Citation :

Or : \forall x \in ]-1,1[ x^{n+1} \rightarrow 0

est très dangereuse !
Il y a deux lettres pouvant être des variables !
Tu devrais éviter d'avoir une "seule flèche" se lisant "tend vers" : tu aurais bien du mal à définir ce que cela veut dire.

2.
Citation :

Je tente cet exo même si j'ai pas encore étudié en profondeur le cours sur les séries entières, j'ai les définitions sous la main. J'ai des difficultés.

N'y aurait-il pas une antinomie dans ta phrase ?

Quelle est la définition du rayon de convergence ?
Quelle est la nature de la série pour x=1 ?

Posté par
mousse42re : Série entière 09-10-18 à 11:40

Salut
Tu dois utiliser la règle de D'Alembert pour déterminer le rayon de convergence.

Posté par
jsvdbre : Série entière 09-10-18 à 12:20

luzak @ 09-10-2018 à 08:51

Citation :
Je tente cet exo même si j'ai pas encore étudié en profondeur le cours sur les séries entières, j'ai les définitions sous la main. J'ai des difficultés.
N'y aurait-il pas une antinomie dans ta phrase ?

Oh Luzak, Surement pas ! Vais-je devoir te reprendre comme Platon le fit vis-àvis d'Anaxagore ?
Par d'antinomie, mais bel et bien une relation de causalité à la Aristote, Kant ou Spinoza ! Comme on veut.

Posté par
luzakre : Série entière 09-10-18 à 12:30

Ouais, mais dans le cas présent, ton attitude n'est pas très cohérente !

@mousse42 !
Inutile : il a déjà démontré que la série converge pour |x|<1 et, en montrant qu'elle diverge lorsque x=1, c'est plié.

Posté par Profil Ramanujanre : Série entière 09-10-18 à 14:51

La définition du rayon de convergence que j'ai jamais compris en prépa ni su comment l'utiliser :

R = \sup \{ r \geq 0 ,  (a_n r^n) \ bornee \} \cup \{ + \infty \}

Pour x=1 : \dfrac{1}{1+x} =\sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n  
La série a un terme général qui ne tend pas vers 0 donc elle diverge grossièrement.

Mais je sais pas comment utiliser ça pour montrer que R=1

Posté par
lionel52re : Série entière 09-10-18 à 15:00

La définition qu'ils te donnent du rayon de convergence c'est le R \in ]0,\infty] :

Pour tout x tel que |x| < R, la série entière converge
Pour tout x avec |x| > R, la série diverge


Après il y a une équivalence avec ta définition. Cependant pour montrer cette équivalence il me semble qu'il te faut avoir quelques rudiments sur la convergence de séries et tu n'y es pas encore dans ton apprentissage!

Posté par Profil Ramanujanre : Série entière 09-10-18 à 15:03

J'ai vu le cours sur les séries de MPSI mais pas les séries entières...
Mais comme je fais le sujet capes 2018 y a que 2 questions sur les séries entières donc j'essaie de comprendre, je pense aussi qu'elles sont faciles.

Posté par
lionel52re : Série entière 09-10-18 à 15:08

Et donc là tu as montré que ça converge pour |x| < 1 et pour x = 1 ça diverge donc R = 1

Posté par Profil Ramanujanre : Série entière 09-10-18 à 15:12

lionel52 @ 09-10-2018 à 15:08

Et donc là tu as montré que ça converge pour |x| < 1 et pour x = 1 ça diverge donc R = 1


J'ai pas compris quel théorème vous utilisez

Posté par
luzakre : Série entière 09-10-18 à 15:21

Si tu prends cette définition

Citation :
La définition du rayon de convergence que j'ai jamais compris en prépa ni su comment l'utiliser :

R = \sup \{ r \geq 0 ,  (a_n r^n) \text{  bornée } \} \cup \{ + \infty \}

Que peux-tu dire de (au point de vue suite bornée) pour la suite n\mapsto a_nr^n dès que r>1 ?

Posté par Profil Ramanujanre : Série entière 09-10-18 à 15:45

Mon a_n = (-1)^n

On a donc  : a_nr^n=(-1)^n \times r^n = (-r)^n =q^n

Pour r>1 soit q=-r < -1

La suite diverge et n'a pas de limite. Elle oscille et est donc bornée.

Posté par
lionel52re : Série entière 09-10-18 à 15:48

osciller = borné?

Posté par Profil Ramanujanre : Série entière 09-10-18 à 16:07

Je sais pas en fait dans le cours c'est écrit :
Si q \in [- \infty,-1] la suite n'a pas de limite.

J'en sais rien si elle est bornée ou pas.

Posté par
lionel52re : Série entière 09-10-18 à 16:17

Et en réfléchissant?

Posté par
luzakre : Série entière 09-10-18 à 17:22

Et c'est quoi une suite bornée ?

Posté par Profil Ramanujanre : Série entière 09-10-18 à 18:59

\exists M \in \R^+ , \forall n \in \N :  |u_n| \leq M

Posté par
mousse42re : Série entière 09-10-18 à 19:01

Salut tout le monde

il me semble qu'il n'est pas demandé de vérifier si la série entière converge au bord de l'intervalle.

Citation :
1/ Démontrer que la fonction \dfrac{x}{1+x} est développable en série entière au voisinage de 0. Préciser son développement et donner le rayon de convergence.


Démontrer que la fonction \dfrac{x}{1+x} est développable en série entière au voisinage de 0

Il me semble que tu dois donner une condition suffisante d'analycité de la fonction x\to \dfrac{x}{1+x}.

càd vérifier la dérivabilité et utiliser les développements limités avec le reste intégral. et montrer que |R_n(x)|\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0


Préciser son développement et donner le rayon de convergence.

Il me semble qu'il faut prendre la partie polynomiale du développement de Taylor Lagrange (à valider)

Et là on déduit que le rayon de convergence est R=1, c'est à dire que la série entière converge pour x\in]-1,1[, par contre on ne demande pas de vérifier pour x\in\{-1,1\}

Posté par Profil Ramanujanre : Série entière 09-10-18 à 19:12

Non Mousse le rapport du concours précise :

"Environ 6% des candidats ont répondu à cette question. Parmi les erreurs les plus courantes, la formule de Taylor est utilisée pour calculer le développement en série entière de 1/(1+x) alors qu'elle ne fournit qu'un développement limité. "

Posté par
mousse42re : Série entière 09-10-18 à 20:40

Je fais une tentative car c'est un chapitre que je suis en train de bosser  :


Démontrer que la fonction f:x\to \dfrac{x}{1+x} est développable en série entière au voisinage de 0

On a f^{n}(x)=(-1)^{n+1}n!(1+x)^{-(n+1)}

La série de Taylor de f est :\bigg(\sum \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n\bigg)

Ainsi on déduit que la série de Taylor de f est : \bigg(\sum_{n\ge 1}(-1)^{n+1}x^n\bigg) le rayon de convergence est R=1

Reste à vérifier qu'il existe r>0 et r\le R tel que pour tout x\in ]-r,r[,\quad  |R_n(x)|\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0, et ça suffit je pense.

On utilise le reste de la formule de Taylor Lagrange :

\bigg|\dfrac{x^n}{n!} \cdot n!(1+c)^{-(n+1)}\bigg|=\left|\left(\dfrac{x}{1+c}\right)^n\cdot \dfrac{1}{1+c}\right|\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0 pour tout x\in [0,1[

Par contre pour x\in ]-1,0[, je dois chercher un peu plus, je vais essayer avec le reste intégrale.

Posté par
mousse42re : Série entière 09-10-18 à 21:56

reste intégrale :

\begin{array}{ll}\left|\int_0^x \dfrac{(x-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)\cdot dt\right|&=\left|(n+1)\int_0^x \dfrac{(x-t)^n}{(1+t)^{n+2}}\cdot dt\right|\\\\&\le(n+1)\int_0^x\left| \dfrac{(x-t)^n}{(1+t)^{n+2}}\right|\cdot dt\\\\&\le (n+1)\int_0^x\left| (x-t)^n\right|\cdot dt=|x|^{n+1}\end{array}

Ainsi r=R=1

Il me semble que c'est correct....mais je suis sûr qu'il y a plus simple, mais je ne vois pas ...

Posté par
mousse42re : Série entière 09-10-18 à 21:59

Ramanujan peux-tu me donner plus de détails donnés par la correction ??

Posté par Profil Ramanujanre : Série entière 09-10-18 à 22:00

Je laisse ça à Luzak je n'ai pas encore bossé ça mais Mousse vous sortez l'usine à gaz pour un résultat démontrable en 3 lignes avec la définition.

J'attends que Luzak m'explique pour le rayon de convergence mais j'ai réussi à démontrer que la suite a_nr^n=(-r)^n n'est pas bornée pour r>1

Posons q=-r on a alors : q < -1

Soit u_n=q^n avec q <-1

Prenons n pair n=2p alors : u_{2n}=q^{2n} = (q^2)^n = (q')^n où q' =q^2 >1 par décroissante de la fonction carrée sur \R^-

Maintenant il faut démontrer que : v_n = (q')^n avec q'>1 est non majorée.

Soit q'>1 et v_n =(q')^n

Mais je dois montrer que la suite n'est pas majorée.

v_{n+1}-v_n = (q')^{n+1}-(q')^n = (q')^n (q'-1) > 0 car q'-1>0

\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (q')^n = + \infty

La suite (v_n) est strictement croissante et elle tend vers + l'infini elle n'est donc pas majorée donc elle n'est pas bornée.

Donc pour n pair u_n = q^{n} avec q <-1n'est pas bornée.

Même raisonnement avec n impair.

Maintenant j'aimerais en revenir au rayon de convergence :

Pour r>1 la suite n'est pas bornée donc comment exploiter le :
R = \sup \{ r \geq 0 ,  (a_n r^n) \ bornee \} \cup \{ + \infty \}

Posté par Profil Ramanujanre : Série entière 09-10-18 à 22:11

@Mousse
La correction tient en 1 ligne mais je n'ai rien compris.

Comme cette série converge sur ]-1,1[, son rayon de convergence est R \geq 1
Pour x=1 cette série diverge grossièrement donc R \leq 1
D'où : R=1

Posté par
mousse42re : Série entière 09-10-18 à 22:29

tu peux me donner le lien pour voir la correction

Posté par Profil Ramanujanre : Série entière 09-10-18 à 22:30

http://www4.ac-nancy-metz.fr/capesmath/data/uploads/EP1_math_2018_corrige.pdf

Posté par
mousse42re : Série entière 09-10-18 à 23:08


Ce n'est pas la fonction x\to  \dfrac{x}{1+x} mais la fonction x\to  \dfrac{1}{1+x}

Le rayon de convergence définition
R est appelé rayon de convergence  de la série

Sur \mathbb{C}, le disque ouvert D_R=\{z\in\matbb{C}, |z|<R\}

Sur \mathbb{R}, l'intervalle ]-R,R[ est l'intervalle de convergence

En gros, on cherche le plus grand R>0 tel que la série converge sur  ]-R,R[
Si tu montres que pour tout x\in ]-\alpha,\alpha[ la série converge, on a R\ge \alpha car elle peut converger sur un intervalle plus grand, et c'est que qu'il faut vérifier , mais à ce stade tu peux simplement dire que R\ge \alpha

Dans l'exercice il montre qu'elle converge sur ]-1,1[ donc on a R\ge 1,

Reste à vérifier pour x=1 (là je me suis trompé lorsque j'ai dit que ce n'était pas utile de vérifier ce point)

pour x=1, on voit que la série diverge , donc R\le1

Posté par
luzakre : Série entière 09-10-18 à 23:34

Ramanujan @ 09-10-2018 à 22:11


Comme cette série converge sur ]-1,1[, son rayon de convergence est R \geq 1
Pour x=1 cette série diverge grossièrement donc R \leq 1
D'où : R=1


C'est exactement ce que j'ai dit depuis le début !
Si tu ne comprends pas c'est que tu ignores ce que veut dire "série entière" et "rayon de convergence".

Pour ce dernier tu m'as donné une définition  mais tu refuses de l'appliquer en notant que pour r>1 la suite n\mapsto a_nr^n n'est pas bornée.

Je fais un effort de plus :
Dans l'ensemble dont tu cherches la borne supérieure, existe-t-il des réels strictement supérieurs à 1 ?
Que représente alors 1 pour cet ensemble ?

Posté par
lafol Moderateurre : Série entière 10-10-18 à 00:01

Bonjour
Mousse, ta formule de Taylor ne te donne qu'un dl, non ? (d'ailleurs tu parles de reste)

Posté par Profil Ramanujanre : Série entière 10-10-18 à 00:08

Merci Luzak j'avais jamais compris la définition ni comment l'appliquer je faisais juste d'Alembert sans réfléchir en prépa à l'époque.

Notons : A = \{ r\geq 0 , (a_nr^n) \ est \ bornee \ \}

Non il n'existe pas de réels strictement supérieurs à 1 car a_n r^n n'est pas bornée pour ces réels >1.

1 est un majorant de cet ensemble donc \forall r \in A : r \leq 1

Par passage à la borne supérieure on trouve : \sup \{A \} \leq 1

On a montré : R \leq 1

Maintenant je dois montrer que R \geq 1

Je dois réutiliser a_n r^n pour r <1 ?

Posté par
mousse42re : Série entière 10-10-18 à 00:44

Bonsoir lafol

lafol @ 10-10-2018 à 00:01

Bonjour
Mousse, ta formule de Taylor ne te donne qu'un dl, non ? (d'ailleurs tu parles de reste)


Dans mon cours, j'ai ceci :

Une condition nécessaire et suffisante d'analycité

Pour que f soit analytique il faut et il suffit qu'elle soit de classe \mathcal{C}^{\infty} au voisinage de 0 et qu'il existe un nombre r>0 tel que pour tout x\in]-r,r[ on ait :|R_n(x)|\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0

Posté par
mousse42re : Série entière 10-10-18 à 00:46

Bonsoir lafol

lafol @ 10-10-2018 à 00:01

Bonjour
Mousse, ta formule de Taylor ne te donne qu'un dl, non ? (d'ailleurs tu parles de reste)


Dans mon cours, j'ai ceci :

Une condition nécessaire et suffisante d'analycité

Pour que f soit analytique en 0 ,  il faut et il suffit qu'elle soit de classe \mathcal{C}^{\infty} au voisinage de 0 et qu'il existe un nombre r>0 tel que pour tout x\in]-r,r[ on ait :|R_n(x)|\underset{n\to +\infty}{\longrightarrow} 0

Posté par
lafol Moderateurre : Série entière 10-10-18 à 07:27

Ça reste le char Leclerc pour écraser une araignée

Posté par
luzakre : Série entière 10-10-18 à 08:07

@Ramanujan :
Mais enfin c'est quoi une borne supérieure ?
C'est le plus petit des majorants !
Or tout r>1 n'est pas dans l'ensemble et 1 est dans l'ensemble : aurais-tu des doutes sur la possibilité de majorer n\mapsto |(-1)^n\,1^n| ?

Maintenant, concernant ton cirque d'une demi-page (voire plus) sur les suites extraites à indice pair, impair : une suite bornée ,ça se décide en utilisant  la valeur absolue (ou le module , ou la norme) des termes de la suite.

Posté par Profil Ramanujanre : Série entière 10-10-18 à 13:17

Ah d'accord Luzak j'avais hésité à prendre la valeur absolue mais vous avez raison.

|(-1)^n 1^n| = 1 \leq 1 donc la suite est bornée et 1 \in A

Donc on a directement : R= \sup(A)=1 et la borne supérieure est atteinte c'est le Max car 1 est le plus petit majorant et il appartient à A

Alors pourquoi le corrigé fait 2 cas j'ai pas compris comment ils obtiennent ça :
Comme cette série converge sur ]-1,1[, son rayon de convergence est R \geq 1
Pour x=1 cette série diverge grossièrement donc R \leq 1
D'où : R=1

Posté par Profil Ramanujanre : Série entière 10-10-18 à 13:47

Soit A = \{ r\geq 0 , (a_nr^n) \ est \ bornee \ \}

Pourquoi si la série converge sur ]-1,1[ alors le \sup(A) \geq 1 ?

Pourquoi si la série diverge pour x=1 alors \sup(A) \leq 1 ?

Posté par
luzakre : Série entière 10-10-18 à 14:36

Parce que si la série converge pour x la suite n\mapsto a_n x^n est bornée donc |x|\in A et, si ]0,1[\subset A la borne supérieure de A est supérieure à 1

Comme d'habitude, tu confonds deux choses : une démonstration intelligente et ton obstination à ne pas sortir de ta définition, comme si elle était unique.

En résumé :
Pour des gens (ceux qui ont rédigé le corrigé) connaissant les séries entières : série convergente pour |x|<1, divergente pour x=1 alors rayon de convergence égal 1.
Pour les "obstinés" de ton genre qui avouent ne pas avoir étudié les séries entières : prendre la définition avec \sup A, montrer que [0,1[\subset A et ]1,\to[\cap A=\emptyset et conclure pour la borne supérieure.

Pour ceux qui veulent approfondir et  montrer que les deux points de vue sont identiques, une suggestion :
si la série diverge pour un réel a alors, pour r>|a| la suite n\mapsto a_nr^n n'est pas bornée (raisonner par l'absurde) et conclure que \sup A\leqslant |a|.
si la série converge pour x=a alors |a|\in A et \sup A\geqslant |a|

Posté par Profil Ramanujanre : Série entière 10-10-18 à 18:14

Je comprends pas le passage :

si ]0,1[\subset A la borne supérieure de A est supérieure à 1

Comment montrer ça ?

Posté par
lafol Moderateurre : Série entière 10-10-18 à 18:42

m'enfin ! réfléchis quinze secondes ! comment un majorant de A pourrait-il être inférieur à des éléments de A ?

Posté par
luzakre : Série entière 10-10-18 à 21:49

Bonsoir lafol !
Je dirais plutôt "quinze petites secondes" !

Posté par
lafol Moderateurre : Série entière 10-10-18 à 22:50

Posté par Profil Ramanujanre : Série entière 11-10-18 à 00:27

Luzak vous m'avez embrouillé je voulais montrer que pour x \in ]-1,1[ on a : R \geq 1 et j'ai toujours pas compris

Je comprends pas d'où sort votre intervalle ]0,1[

Et pourquoi pour x=1 on a R \leq 1

Tous ces posts mais j'ai toujours pas compris.

Quelqu'un pourrait pas m'expliquer plus simplement ? On dirait du chinois vos posts. Je comprends rien.

Posté par
mousse42re : Série entière 11-10-18 à 02:12

Citation :
1/ Démontrer que la fonction \dfrac{x}{1+x} est développable en série entière au voisinage de 0. Préciser son développement et donner le rayon de convergence.


Puisque \dfrac{1}{1-x}=\sum_{n\ge0} x^n pour x\in ]-1,1[

\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1}{1-(-x)}=\sum_{n\ge0} (-1)^nx^n pour x\in ]-1,1[

à partir de là, on peut dire que  la série converge "au minimum" sur l'intervalle ]-1,1[, donc  R\ge 1 puisque \sum_{n\ge0} (-1)^nx^n converge pour tout x\in ]-1,1[

Maintenant il faut vérifier si on peut augmenter l'intervalle de convergence c'est à dire vérifier pour des valeurs de x\ge 1

Je te rappelle la définition du rayon de convergence :

Citation :
R est appelé rayon de convergence  de la série si :
Sur \mathbb{R}, l'intervalle ]-R,R[ est l'intervalle de convergence


Il suffit de vérifier pour x=1 si la série diverge, ainsi  on aura R\le1

Pour x=1 on a \sum_{n\ge0} (-1)^n, or une condition nécessaire pour qu'une série converge est que son terme général converge vers 0 or (-1)^n ne tend pas vers 0, donc elle diverge grossièrement, donc R\le1

On conclut que R=1

On aurait pu faire autrement, en disant pour x>1 la série diverge grossièrement donc R\le1 et on conclut que R=1 sans vérifier pour x\in \{-1,1\}, ces point sont appelés "points critiques" ou "les bords de l'intervalle"


Note qu'il est possible de trouver une série qui converge sur [-1,1], ou sur [-1,1[ , et on aura également R=1, le rayon de convergence te donne le plus grand ouvert où la série converge,(ouvert centré sur 0 et de rayon R )

Posté par
mousse42re : Série entière 11-10-18 à 02:15

mousse42 @ 11-10-2018 à 02:12

Citation :
1/ Démontrer que la fonction \red \dfrac{1}{1+x} est développable en série entière au voisinage de 0. Préciser son développement et donner le rayon de convergence.

Posté par
mousse42re : Série entière 11-10-18 à 02:46

Réponse à la question posée par luzak

Citation :
Pour ceux qui veulent approfondir et  montrer que les deux points de vue sont identiques, une suggestion :
si la série diverge pour un réel a alors, pour r>|a| la suite n\mapsto a_nr^n n'est pas bornée (raisonner par l'absurde) et conclure que \sup A\leqslant |a|.


On suppose qu'il existe a tel que \sum |b_na^n|  diverge et |a|<r tel que pour tout n\in \mathbb{N},   |b_nr^n|\le M

|b_na^n|=\left|b_nr_n\dfrac{a^n}{r^n}\right|=\left|b_nr_n\left(\dfrac{a}{r}\right)^n\right|\le \left|M\left(\dfrac{a}{r}\right)^n\right|

Donc \sum|b_na^n|\le \sum \left|M\left(\dfrac{a}{r}\right)^n\right| et puisque \sum \left|M\left(\dfrac{a}{r}\right)^n\right| converge (somme géométrique de raison \dfrac{a}{r}<1, on conclut que \sum|b_na^n| converge (contradiction)

Posté par
lionel52re : Série entière 11-10-18 à 07:44

Tas pas fait de raisonnement par labsurde là ! Meme si cest juste

Posté par
luzakre : Série entière 11-10-18 à 08:23

Citation :
Je comprends pas d'où sort votre intervalle ]0,1[

Tu veux bien un sous ensemble de réels positifs pour prendre la borne supérieure, non ?
D'accord, j'aurais pu fermer l'intervalle en 0, mais pour une borne supérieure, où est la différence ?

.................................
@mousse42
Démonstration incorrecte :
Citation :
Donc \sum|b_na^n|\le \sum \left|M\left(\dfrac{a}{r}\right)^n\right|

Où as-tu défini une relation d'ordre entre des séries ?

Posté par
mousse42re : Série entière 11-10-18 à 10:11

lionel52

C'est un raisonnement par l'absurde, lorsque l'on veut montrer P\implies Q par l'absurde on montre que P\land \neg Q conduit à une contradiction.


luzak

Oui, c'est la somme de la série donc on a :

\sum_{n=0}^{+\infty}|b_na^n|\le \sum_{n=0}^{+\infty} \left|M\left(\dfrac{a}{r}\right)^n\right|

Posté par
lionel52re : Série entière 11-10-18 à 10:18

Non ! Tu n'as pas fait un réel raisonnement par l'absurde.

Ton raisonnement est analogue à celui-ci :
Montrer que 1 est solution de l'équation x²-2x+1 = 0

On suppose que 1 n'est pas solution de l'équation x²-2x+1 = 0
Alors on remplace x par 1 dans l'équation 1²-2*1+1 = 0 donc x est bien solution de l'équation x²-2x+1 = 0, contradiction

Par très intéressant...

Posté par
lafol Moderateurre : Série entière 11-10-18 à 10:29

Sauf que tu te sers de ton inégalité avant de savoir si les deux séries convergent..... Elle ne peut alors pas porter sur les sommes des séries

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