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Niveau Maths sup
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série entière

Posté par
TAHAreal19top 30-11-21 à 15:23

Bonjour,j'espère m'aider à calculer cette somme:
∑_(n=1)^∞▒(2^n×n^2)/((5n)!)
je suis dans l'attente de votre réponse et merci

Posté par
malou Webmasterre : série entière 30-11-21 à 17:02

Bonjour

que proposes-tu ?

Posté par
etniopalre : série entière 30-11-21 à 18:00

     Est ce bien \sum_{n>0}^{}{\frac{2^{n}n²}{(5n)!}}   ?

Posté par
TAHAreal19topre : série entière 30-11-21 à 19:02

oui pour n=1 jusqu'à (l'infini)
cordialement

Posté par
larrechre : série entière 30-11-21 à 19:18

Bonjour,

Et c'est une question sèche, comme ça, "calculer, etc." ?

Posté par
TAHAreal19topre : série entière 30-11-21 à 19:24

oui comme ça elle est posé.
cordialement

Posté par
Ulmierere : série entière 30-11-21 à 20:14

Le titre du sujet est série entière.

As-tu essayé d'étudier la série entière \sum u_n z^n avec (u_n) le terme général de la série de l'énoncé ?

Rayon de convergence (Hadamard), et ensuite essayer de trouver une équation différentielle qu'elle vérifie et en chercher les solutions non nulles (analytiques).

Tu n'auras plus alors qu'à évaluer en 1, du moins si le rayon de convergence le permet

Posté par
Ulmierere : série entière 30-11-21 à 20:19

Aussi tu pourras que constater que tu peux faire dégager le 2^n temporairement en considérant g: z \mapsto f(z/2)

Posté par
Ulmierere : série entière 30-11-21 à 20:37

Je te donne une piste pour le début parce que ça me semble un peu difficile pour un niveau sup

\begin{array}{lcl} \\ 25 g(z) &=& \sum_{n=1}^\infty \dfrac{(5n)^2}{(5n)!}z^{n}\\ \\ &=& \sum_{n=1}^\infty \dfrac{5n}{(5n-1)!}z^{n}\\ \\ &=& 5z\sum_{n=1}^\infty \dfrac{n}{(5n-1)!}z^{n-1}\\ \\ &=& 5z\dfrac{d}{dz}\left(\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{(5n-1)!}z^{n}\right) \\ &=& 5zh'(z) \\ \end{array}

avec h de définition tenue pour évidente

Alors 5g +  h est la dérivée de z\mapsto u(z) = zh(z)

Posté par
TAHAreal19topre : série entière 30-11-21 à 21:16

c'est là ou je me suis bloqué,quand on va arriver à la fontion primitive (par ce que j'ai adapté la deuxième méthode) comment on va continuer !

Posté par
Razesre : série entière 30-11-21 à 23:09

Bonsoir,

Je ne sais pas si tu es un familier avec les nombres complexes? Je n'ai pas fait les calculs. Mais voici une idée. Nous posons:

f(z)=e^z=\sum_{n\geqslant 0}^{}{\dfrac{z^{n}}{n!}}

On peut déterminer:  f\left ( \left ( \frac{z}{2} \right )^{\frac{1}{5}} \omega_k\right ); avec: \omega_k=e^{i\frac{2k\pi }{5}}; k\in \left \{1,2,3,4,5 \right \} en fonction des e^z puis avec la série.

Ceci nécessite la connaissance des propriétés des racines nième de l'unité et des polynômes, ainsi que la somme des puissances des racines de l'unité.

Puis calculer: g(z)=\sum_{k=1}^{5}f\left ( \left ( \dfrac{z}{2} \right )^{\frac{1}{5}} \omega_k\right ) des deux façons.

Recourir après à la dérivé 1ère et seconde avec qlq manip.

Posté par
TAHAreal19topre : série entière 01-12-21 à 12:14

d'accord merci beaucoup,j'ai trouvé la réponse.


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