Bonjour,
je ne pense pas que l'on puisse exprimer cette série avec les fonctions usuelles en nombre fini.
Dans le domaine des fonctions spéciales, on peut établir des relations formelles entre cette série et les fonctions de Lerch, ou les polylogaritmes.
Néanmoins, je ne vois pas ce que cela apporterait de plus d'un point de vue utilitaire.

Merci beaucoup

Dans le DM apparaissait la valeur de cette série entière en x=1/2 et je me demandais s'il y avait moyen de l'écrire plus simplement.
Visiblement non ^^

Fractal

Bonjour,

Il ne ne semble pas impossible que des simplifications apparaissent dans le cas particulier x=1/2. Ce serait à voir.
Malheureusement, je dois m'absenter pour une assez longue durée et il ne me reste plus assez de temps pour poursuivre cette étude.
Même dans le cas général, je pense qu'on devrait pouvoir aller plus loin : il n'est pas impossible que l'on puisse exprimer cette série sous forme d'intégrale(s). En effet, la définition intégrale des fonctions de Lerch permet d'exprimer la série en question sous forme de limite d'intégrales (individuellement non convergentes, mais dont la différence et le rapport est convergent : voir la formule jointe).
Il faudrait ensuite passer en développement asymptotique ( qui fait intervenir la fonction spéciale exponentielle intégrale) pour voir si on aboutit à une forme explicite plus simple. Hier, j'en étais resté là, faute de temps disponible et tout ce que je peux me permettre aujourd'hui est de donner rapidement ces indications de principe.