Bonjour,




ensuite tu égales les coeffs.
Tu sais que y(0)=1 et que y'(0)=1 donc tu connais a_0 et a_1.
Ensuite tu sais que y''(0)=0 non?
et tu peux trouver une relation de récurrence probablement, ou quelque chose comme ca, avec l'explicitation des coefficients en les ayant égalé.
A+

salut otto
merci pour la demarche mais mon probleme c'est comment trouver a_0 et a_1
pour y"(0)=0 pourquoi?
merci!

y(x) = a(0) + a(1).x + a(2).(x²) + ...

y''(x) = 2.a(2) + 6.a(3).x + 12.a(4).x² + 20.a(5).x³ + ...


y'' + xy = 2.a(2) + 6.a(3).x + 12.a(4).x² + ... +  x.(a(0) + a(1).x + a(2).(x²) + ...)

y'' + xy = 2.a(2) + (6.a(3)+a(0)).x + (12.a(4)+a(1)).x² + (20.a(5)+a(2)).x³ + ...

à identifier avec:

y'' + xy = x² + x + 2

--> on a le système:

2.a(2) = 2
(6.a(3)+a(0)) = 1
(12.a(4)+a(1)) = 0
(20.a(5)+a(2)) = 0
y(0)=1 --> a(0) = 1
y' = a(1) = 1

a(0) = 1
a(1) = 1
a(2) = 1
a(3) = 0
a(4) = -1/12
a(5) = -1/20
...
a(n) = -1/(n.(n-1))
Pour n >= 5
-----
Calculs à vérifier.

bonjour

Je ne vois pas où est mon erreur ?

de y"+xy = x²+x+2 => y est un polynome de d° 1 : y=ax+b => y"=0

donc ax²+bx = x²+x+2 n'a pas de solution

Pouvez-vous me dire où est l'erreur de raisonnement ?

Philoux

salut j-p
est-ce qu'il existe une relation (qu'on peut admettre) pour trouver les coefficients?
merci d'avance

salut,

En regardant la formule d'Otto, tu peux voir que y(0)=1 implique a₀=1
en dérivant la formule et avec y'(0)=1, tu obtiens a₁=1

Par contre j'ai un doute sur l'équation que tu nous donnes
car en regardant les degré des polynômes à gauche et à droite, on voit de suite que le degré de y doit être de 1, soit y(x)=ax+b, ce qui rend la résolution impossible...

J'aurais plutot vu une équation de la forme xy"+y=x²+x+1
et dans ce cas, avec la méthode d'Otto, ou en observant que le degré de y est de 2 et donc en posant y(x)=ax²+bx+c, on finit par trouver que
y(x)=x²-x+1, et cela vérifie les conditions donnés.

Sylv'

salut philoux
ton raisonnement n'est pas faux mais pour trouver une solution d'une equation diff on peut trouver cette solution sous forme de serie entiere !

rebonjour J-P
merci encore pour ton aide; je vois que tu a ecris
(12.a(4)+a(1)) = 0
mais je pense que c'est egale a 1 !

Comme le confirme ptitjean (salut), j'opte pour une erreur d'énoncé...

Philoux

y(x)=x²-x+1, et cela vérifie les conditions donnés

y'(0)=1 n'est pas vérifiée ?

Philoux

Salut aussi,

ah oui zut
je suis allé un peu vite désolé !!

Sinon, en relisant ce qu'a écrit J-P, on peut effectivement obtenir
a0=1
a1=1
a2=1
a3=0
a4=-1/12

puis pour n>4
j'obtiens
a(n)=-a(n-3)/(n(n-1))

J'imagine qu'il faut résoudre cette suite pour atteindre le résultat recherché...

Mes souvenirs de prépa sont trop loin pour ça, et dommage j'aimais bien le raisonnement de dire que c'était pas possible C'était plus simple, mais il est vrai que le fait de travailler avec une série entière change la donne...

Sylv'

Réponse au post du : 31/01/2006 à 11:59

Oui, distraction.

2.a(2) = 2
(6.a(3)+a(0)) = 1
(12.a(4)+a(1)) = 1
(20.a(5)+a(2)) = 0
y(0)=1 --> a(0) = 1
y' = a(1) = 1

a(0) = 1
a(1) = 1
a(2) = 1
a(3) = 0
a(4) = 0
a(5) = -1/20

Les suivants seraient trouvés par:

(30.a(6)+a(3)) = 0 --> a(6) = 0
(42.a(7)+a(4)) = 0 --> a(7) = 0
(56.a(8)+a(5)) = 0 --> a(8) = 1/1120
...
-----
Sauf nouvelle distraction.  

Oui au temps pour moi, y"(0)=2 et non 0. Je n'avais pas vu la constante dans le mêmbre de droite.
Pour le trouver il suffit de poser x=0 dans l'équation.
A+

On a intérêt à faire le changement préalable : y=t+x+1, ce qui simplifie l'équation. Ensuite, on peut procéder par identification de coefficients de polynôme, comme cela a été dit. Une aute méthode consiste à calculer les coefficient du développement en série de Taylor, par des dérivations successives, ce qui donne aisément la relation de récurrence :

Information complémentaire pour les amateurs de fonctions spéciales :
la résolution de l'équation différentielle conduit aux fonctions d'Airy.

Salut JJa

Dans ta formule, avec k = 2, on trouve le coeff en x^8:

(-1)²*2*3²*2!/(3*2+2)!
= 2*9*2/8! = 9/(2*7*6*5*4*3*2) = 9/10080 = 1/1120

Ce qui colle avec ma solution du 31/01/2006 à 12:22.

Comment trouves-tu 1/6720 pour ce coefficient ?

Je m'aperçois de fautes de recopie dans deux équations. Après correction typographique :

Bonjour JP,

Tu as tout à fait raison de me corriger, c'est bien 1/1120.
Erreur de calcul élémentaire !!!

aaah mes amis ce que c'est beau de discuter sur des problemes de maths et cet entraide entre nous. je vous remercie infinniment et a bientot

*** message déplacé ***

Problème dans l'envois du post je pense...

*** message déplacé ***