Niveau Maths sup

Serie entière et equation différentielle

Posté par binormi (invité) 08-11-04 à 19:26

Bonjour,
Voici le début de l'énoncé : je n'arrive meme pas la 1ere question

on cherche les solutions de l'équation différentielle (E) : 4xy''-4y'+x³y=0 développables en série entière de la forme y(x)= a_nxⁿ.

a) Déterminer les conditions auxquelles doivent satisfaire les coefficients a_n pour que y soit solution de (E).

Que faire? Je ne vois vraiment pas . Quelqu'un a des conseils à me donner?
Merci

Wariom

Posté par re : Serie entière et equation différentielle 08-11-04 à 19:59

Salut !

Il faut utilser le fait qu'une serie entiere est derivable membre a membre...
La solution va etre de la forme y(x)= n variant de 0 a N an x^{[/sup]n.

y'(x)=pour n variant de 1 a N n*an*x[sup]}(n-1)
Je te laisse calculer y"(x) ( ca va etre le meme chose sauf que ds la somme, n va varier de 2 a N et on aura ss le signe somme n(n-1)an x^{[/sup](n-2) )

Ensuite, il faut remplacer y y' et y" par son expression en somme ds l'eq diff

On trouve :

n variant de 2 a N 4a_{[/sub]n n(n-1)x[sup]}}(n-1)+ pour n variant de 1 a N de -4na[sub]nx^{[/sup](n-1)+pour n variant de 0 a N de a_{[/sub]n x[sup]}}(n+3)

ensuite, il faut commencer par ecrire les premiers termes des sommes de sorte a mettre le reste sous une seule et unique somme (il v afalloir faire des changements d'indices) et tu auras le debut d'un polynome et un polynome est nul ssi chaque terme devant x[sup][/sup]i est nul et cela va te donner un systeme d'equations, cre qui ca te permmettre ensuit ecertaienement d'exprimer a[sub]n en fonction de n. C'ets pas facile a expliquer par mail mais si ca peut te mettre sur la voie...

Posté par re : Serie entière et equation différentielle 08-11-04 à 19:59

euh tt n'a pas fctionne xn= x puissance n

Posté par binormi (invité)re : Serie entière et equation différentielle 08-11-04 à 20:24

J'avais déjà commencé sur cette voie.
en suivant ensuite tes conseils, j'obtiens
4(n+2)(n+1)a_n+2=0
-4(n+1)a_n+1=0
a_n=0 !!
je ne vois pas ou je me suis trompé : j'ai ensuite essayé de trouver une relation de récurrence mais je n'ai pas de conditions initiales: je m'embrouille

Posté par re : Serie entière et equation différentielle 08-11-04 à 21:53

$f(x) = \bigsum_{n=0}^\infty a_nx^n$
$f^'(x) = \bigsum_{n=1}^\infty n a_nx^{n-1}=\bigsum_{n=0}^\infty (n+1)a_{n+1}x^n$
$f^{''}(x) = \bigsum_{n=2}^\infty n(n-1) a_nx^{n-2}=\bigsum_{n=0}^\infty (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n$

$\begin{tabular}{rcl}4x.f^{''}(x)-4f^'(x)+x^3f(x) & = & \bigsum_{n=0}^\infty 4(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n+1} - \bigsum_{n=0}^\infty 4(n+1)a_{n+1}x^n + \bigsum_{n=0}^\infty a_nx^{n+3} \\ & = & \bigsum_{n=1}^\infty 4n(n+1)a_{n+1}x^{n} - \bigsum_{n=0}^\infty 4(n+1)a_{n+1}x^n + \bigsum_{n=3}^\infty a_{n-3}x^{n} \\ & = & $8a_2 x + 24a_3 x^2 + \bigsum_{n=3}^\infty 4n(n+1)a_{n+1}x^{n} $ - $ 4a_1 +8a_2 x + 12a_3 x^2 + \bigsum_{n=3}^\infty 4(n+1)a_{n+1}x^n $ + \bigsum_{n=3}^\infty a_{n-3}x^{n} \\ & = & -4a_1 + 12a_3 x^2 + \[ \bigsum_{n=3}^\infty $4n(n+1)a_{n+1}-4(n+1)a_{n+1}+a_{n-3}$x^{n} \]\\ & = & -4a_1 + 12a_3 x^2 + \[ \bigsum_{n=3}^\infty $4(n^2-1)a_{n+1}+a_{n-3}$x^{n} \]\end{tabular}$

$a_1=0$
$a_3=0$
$\forall n \in {\mathbb N}-\{0,1,2} \;,\;\;4(n^2-1)a_{n+1}+a_{n-3}=0$

càd
$a_1=0 \\ a_3=0 \\\forall n \in {\mathbb N} \;,\;\;a_{n+4}=-\frac 1 {4 [(n+3)^2-1]}a_n$

Posté par binormi (invité)re : Serie entière et equation différentielle 09-11-04 à 18:12

Merci , merci
J'ai compris d'ou venait mon erreur

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