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série entière et fonction correspondante

Posté par
HighSchool2005 01-03-07 à 11:39

Bonjour,

comment trouver la somme de cette série entière ? :
\sum_{n=0}^{+ \infty}{(n^2) x^n}

J'ai trouvé \sum_{n=0}^{+\infty }{n x^n} = x \frac{1}{(1-x)^2} en faisant plusieurs changements de variables pour à la fin obtenir et pouvoir conclure :
\sum_{n=0}^{+ \infty}{n x^n} = x \sum_{n=1}^{+ \infty}{\frac{(n+2-1)!}{1! n!} x^n} + 1)
Peut-on l'utiliser pour répondre à ma question ?

J'ai tenté plusieurs choses notamment :
-faire un premier changement de variable 2l = n
- puis l = j+1
-à la fin je trouve :
4 x^2 (\frac{1}{(1-x)^4} - 2) mais je crois que c'est faux.

Si c'est utile, je peux mettre le détail de mes calculs. Je ne comprends pas où est mon erreur.

Merci,

Posté par
lafol Moderateurre : série entière et fonction correspondante 01-03-07 à 11:46

Bonjour, tu dois pouvoir étudier ça en dérivant deux fois la série géométrique

Posté par
lafol Moderateurre : série entière et fonction correspondante 01-03-07 à 11:55

f_N(x)=\Bigsum_{k=0}^Nx^k=\frac{1-x^N}{1-x} converge si |x|<1 vers f(x)=\frac{1}{1-x}
Tu dérives :
f'_N(x)=\Bigsum_{k=1}^Nkx^{k-1}=\frac{1-Nx^{N-1}+(N-1)x^N}{(1-x)^2}, converge si |x|<1 vers f'(x)=\frac{1}{(1-x)^2}
Or \Bigsum_{k=1}^Nkx^{k-1}= \Bigsum_{j=0}^{N-1}(j+1)x^{j} = \Bigsum_{j=0}^{N-1}jx^{j} + \Bigsum_{j=0}^{N-1}x^{j}.

en redérivant, tu peus trouver ta série

Posté par
lafol Moderateurre : série entière et fonction correspondante 01-03-07 à 11:56

tu peux

Posté par
HighSchool2005re : série entière et fonction correspondante 01-03-07 à 14:04

merci beaucoup J'ai trouvé.
J'avais aussi des problèmes pour d'autres mais maintenant j'y arrive !

Posté par
HighSchool2005re : série entière et fonction correspondante 01-03-07 à 14:43

Ca ne serait pas plutot :
\sum_{k=0}^{N}{x^k}=\frac{1-x^{N+1}}{1-x}
bien que ça ne change rien pour la limite ?

Posté par
Camélia Correcteurre : série entière et fonction correspondante 01-03-07 à 14:45

Bonjour à toutes!
Oui, tu as raison...

Posté par
lafol Moderateurre : série entière et fonction correspondante 01-03-07 à 15:08

tu as tout à fait raison, je suis une étourdie !

Posté par
lafol Moderateurre : série entière et fonction correspondante 01-03-07 à 15:09

(et du coup, la dérivée est sans doute à rectifier aussi ...)

Posté par serapion (invité)Il y a plus simple 01-03-07 à 15:40

on a l'identité, vraie pour tout N fini :
(1-x^N)=(1-x)[1+x+x^2+...+x^(N-1)]
qui se démontre facilement par récurrence...La convergence de la suite sN=1+x+x^2+...+x^(N-1) en résulte immédiatement pour abs(x)<1 puisque x^N tend alosr vers zéro.

Posté par
HighSchool2005re : série entière et fonction correspondante 01-03-07 à 15:41

oui la dérivée est à rectifier mais ça ne change rien au résultat final car N et N+1 tendent vers l'infini

Posté par
HighSchool2005re : série entière et fonction correspondante 01-03-07 à 15:46

j'ai de même :

\sum_{n=0}^{N}{\frac{x^{3n+2}}{3n+2}}

Si j'utilise ta méthode mais cette fois en intégrant, je me retrouve avec des ln et des complexes en essayant d'intégrer \frac{1-(x^3)^{N+1}}{1-x^3}
et je ne suis vraiment pas sure d'être sur la bonne voie...

J'ai utilisé le fait que
\sum_{n=0}^{N}{(x^3)^{n}}= \frac{1-(x^3)^{N+1}}{1-x^3}

et
\int_{0}^{x} \int_{0}^{x} \sum_{n=0}^{N}{(x^3)^{n}}= \sum_{n=2}^{N}{\frac{x^{3n+2}}{(3n+2)(3n+1)}} ,
du moins je crois...

Posté par
lafol Moderateurre : série entière et fonction correspondante 01-03-07 à 15:52

Pourquoi ne pas utiliser le fait que \frac{x^{3n+2}}{3n+2} a pour dérivée x(x^3)^{n} ?


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