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Série entière - Rayon de convergence et majoration coefficient

Posté par
fplanina 18-11-22 à 17:44

Bonjour à tous,

je suis actuellement sur le chapitre des séries entières et je coince sur un exercice dont voici l'énoncé:

On considère la série complexe de somme

f(x)=\sum_{n\epsilon N}^{}{(a_{n}(z^{n}))}

où les a_{n} sont définis par :

a_{0}=1
a_{1}=3

et pour tout \geq2     a_{n}=3a_{n-1}-2a_{n-2}


1.Montrer que le rayon de convergence de cette série est supérieur ou égal à \frac{1}{4}

Je regarde le corrigé et on me propose une majoration de |a_{n}| (en utilisant l'inégalité triangulaire) , après calculs cela fait |a_{n}| < b_{n}=4^{n}

Après on utilise d'Alembert et la limite de b_{n+1} sur b_{n} donne 4

Après le correcteur se justifie en disant : le rayon de convergence de la série entière b_{n}z^{n} est \frac{1}{4} , et comme |a_{n}|< b_{n} le rayon de convergence de la série entière a_{n}z^{n} est supérieur ou égal ) \frac{1}{4}

Je ne comprends absolument pas d'où sort ce théorème de majoration du coefficient. Aucun élément dans le cours ne me renseigne .  Quelqu'un pourrait-il m'éclairer s'il vous plaît ?

Merci d'avance ! et bon courage à tous !

Posté par
miguelxgre : Série entière - Rayon de convergence et majoration coeffici 18-11-22 à 18:08

salut

on définit le rayon de convergence R d'une série entière \sum\limits a_n z^n la quantité R := \sup \{r \in \mathbb{R}^+ | (a_n r^n)_{n \in \mathbb{N}} \text{est bornée}\} qui peut être infinie

dès lors, dans ton exemple tu as \abs{a_n} \leq 4^n, donc \abs{a_n r^n} \leq (4r)^n pour tout r positif
en particulier, pour r \leq \frac{1}{4}, la suite (4^n r^n)_{n \in \mathbb{N}} est bornée, donc a fortiori la suite (a_n r^n)_{n \in \mathbb{N}} aussi

comme le rayon de convergence de la série entière \sum\limits a_n z^n désigne la borne supérieure que je t'ai dite au-dessus, et que r = \frac{1}{4} vérifie que (a_n r^n)_{n \in \mathbb{N}} est bornée, cela veut forcément dire que le rayon de convergence de \sum\limits a_n z^n est supérieur ou égal à \frac{1}{4} (car par définition la borne supérieure d'un ensemble est plus grande que tous les éléments de cet ensemble)

Posté par
miguelxgre : Série entière - Rayon de convergence et majoration coeffici 18-11-22 à 18:09

j'ai oublié de rajouter les valeurs absolues, c'est bien \lvert a_n \lvert \leq 4^n et donc \lvert a_n \lvert r^n \leq 4^n r^n

Posté par
carpediemre : Série entière - Rayon de convergence et majoration coeffici 18-11-22 à 18:54

salut

on peut même remarquer que :

a_n - a_{n - 1} = 2(a_{n - 1} - a_{n - 2}) $ donc $ a_n - a_{n - 1} = 2^{n - 1} (a_1 - a_0) = 2^n

a_1 - a_0 = 2^1 \\ a_2 - a_1 = 2^2 \\ a_3 - a_2 = 2^3 \\ ... \\ a_{n - 1} - a_{n - 2} = 2^{n - 1} \\ a_n - a_{n - 1} = 2^n

donc en ajoutant membre à membre a_n = 2^{n + 1} - 1 et le rayon de convergence est \dfrac 1 2 \ge \dfrac 1 4



et je suis curieux de voir comment l'auteur arrive à |a_n| \le 4^n

Posté par
fplaninare : Série entière - Rayon de convergence et majoration coeffici 19-11-22 à 17:20

vous assurez les gars merci!

carpe diem je te mets la réponse pour la majoration de |a_{n}|

donc |a_{n}|=|3a_{n-1}-2a_{n-2}|= 3|a_{n-1}| + 2 |a_{n-2}|<

3*4^{n-1} + 2*4^{n-2}= 4^{n-2}(3*4 +2) = 4^{n-2}*14 < 4^{n-2}*16= 4^{n}}

miguelxg , je pense avoir très bien saisi ta démonstration , donc en gros il faut penser comme cela dès le départ ?

|a_{n}|r^{n}\leq |a_{n}|R^{n}

Posté par
carpediemre : Série entière - Rayon de convergence et majoration coeffici 19-11-22 à 17:37

ha mais oui je m'étais trompé dans les puissance 4 (dans mon calcul mental) ... mais c'est ce que je pensais !!

et oui pour la dernière question : c'est la définition (de la convergence) d'une série

Posté par
miguelxgre : Série entière - Rayon de convergence et majoration coeffici 20-11-22 à 02:21

oui, du coup tu as eu ta réponse haha

Posté par
fplaninare : Série entière - Rayon de convergence et majoration coeffici 20-11-22 à 11:40

haha merci


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