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série et Cauchy

Posté par downfall (invité) 05-02-06 à 12:39

Bonjour, je n'arrive pas à montrer que la série \sum_{0}^{\infty}\ \frac{cos ln n}{n} diverge (il faut le montrer par le critère de Cauchy)
merci d'avance pour vos réponses

Posté par
veledasérie 05-02-06 à 13:07

bonjour,je ne comprends pas le numérateur,cos(n²)?

Posté par downfall (invité)re : série et Cauchy 05-02-06 à 13:37

bonjour, c'est cos*ln(n)

Posté par downfall (invité)re : série et Cauchy 05-02-06 à 13:39

pardon, cos (ln(n))

Posté par downfall (invité)re : série et Cauchy 05-02-06 à 17:30

personne ?

Posté par
lolo217re : série et Cauchy 06-02-06 à 11:41

Une idée (sans garantie) : J'essaierais bien d'étudier la différence de deux termes consécutifs pour voir puis Abel.

lolo

Posté par
veledare:série et Cauchy 06-02-06 à 17:58

désolée,je n'ai rien trouvé,j'ai ecrit la somme des termes de n+1 à 2n mais ça ne m'a rien donné.j'ai aussi ecrit cos ln(n + k)=cos[ln(n)+ln(1+k/n)]..

Posté par downfall (invité)re : série et Cauchy 07-02-06 à 15:07

oki merci quand meme

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : série et Cauchy 07-02-06 à 15:29

Bonjour,

Indice "intuitif" :
Tu sais que la fonction ln croit désespérément lentement.
Donc, tu pourras toujours trouver une série :
n, n+1, ..., n+N
telle que :
ln(n), ..., ln(n+N)
soient très proches les uns et d'autres et tels que :
cos(ln(n)), ..., cos(ln(n+N))
soient tous > 1/2

A creuser...
(Je vais essayer de mon côté)

Nicolas

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : série et Cauchy 07-02-06 à 17:33

Soyons fous...
(Certains points sont encore à affiner.)

On note u_n=\frac{\cos(\ln n)}{n}
On veut montrer :
\fbox{\exists\vareps>0\quad\textrm{tq}\quad\forall N\in\mathbb{N},\quad\exists p\ge N,\quad q\in\mathbb{N}^*\quad\textrm{tq}\quad\left|u_p+...+u_{p+q-1}\right|\ge\vareps}

(\ln n)_n est une suite strictement croissante tendant vers l'infini. Considérons les \ln n comme des angles, et visualisons-les en train de faire le tour du cercle trigonométrique à l'infini.

Sur ce cercle trigonométrique, on repère le secteur angulaire \hat{A} délimité par l'axe des abscisses et le point A\|{\cos\alpha\\\sin\alpha} avec 0<\alpha<\frac{\pi}{2}

On prend \alpha "assez grand" : \fbox{\alpha>\ln 3} (pour "caser" beaucoup de \ln n dans le secteur angulaire).

On choisit \fbox{\vareps=\frac{\cos\alpha}{2}>0}.

Soit \fbox{N\in\mathbb{N}} quelconque.

Soit p le premier n\ge N tel que \ln n soit dans le secteur angulaire \hat{A}. On sait qu'un tel p existe car (\ln n)_n est une suite strictement croissante tendant vers l'infini et que la distance entre deux termes consécutifs tend vers 0 (\ln(n+1)-\ln n\le\frac{1}{n}).
(A peu de choses près, il me semble que p=\left[e^{2\pi(\left[\frac{\ln N}{2\pi}\right]+1)}\right]+1 où [...] désigne la partie entière)

Combien peut-on caser de \ln p, \ln(p+1), ... consécutifs dans le secteur angulaire \hat{A} ?
Soit \ln(p+q-1) le dernier.
"En gros" : \ln(p+q-1)-\ln p=\alpha
Considérons la situation la plus pénalisante, en faisant sauter deux points (rappelons que \ln(n+1)-\ln n\le\frac{1}{n}) :
\ln(p+q-1)-\ln p=\alpha-\frac{2}{p}
\frac{q}{p}=e^{\alpha-\frac{2}{p}}-1+\frac{1}{p}
On considère tout de même p\ge 5 donc -\frac{2}{p}\ge-\ln\frac{3}{2} :
\frac{q}{p}\ge e^{\ln 3-\ln\frac{3}{2}}-1 = e^{\ln 2}-1=1
\fbox{p\le q}

Tentons de conclure !
\left|u_p+...+u_{p+q-1}\right| = \frac{\cos\ln p}{p}+...+\frac{\cos\ln(p+q-1)}{p+q-1}
C'est une somme de q termes.
Tous les \ln n sont dans le secteur angulaire \hat{A} donc leur cosinus est minoré par \cos\alpha=2\vareps.
Tous les dénominateurs sont majorés par p+q-1
Donc :
\left|u_p+...+u_{p+q-1}\right|\ge q\frac{\cos\alpha}{p+q-1}=q\frac{2\vareps}{p+q}
Or p\le q, donc :
\left|u_p+...+u_{p+q-1}\right|\ge q\frac{2\vareps}{2q}=\vareps

CQFD

Sauf erreur.
Et il y en a probablement. Je n'ai pas eu le temps de vraiment relire et améliorer la démonstration après ma période de recherche.
Je préfère poster en l'état car... je dois me coucher !
Au moins, cela peut donner des idées.

Nicolas

Posté par downfall (invité)re : série et Cauchy 08-02-06 à 06:30

merci beaucoup

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : série et Cauchy 08-02-06 à 13:20

Je t'en prie.

Posté par
veledasérie et Cauchy 09-02-06 à 09:17

bonjour,merci pour la démonstration,je l'étudierai pendant les vacances.j'avais cherché dans cette direction mais je n'avais pas persévéré. bonne journée

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : série et Cauchy 15-12-06 à 00:13

Bonsoir à tous les mathîlens ( à la mémoire de Philoux )
Alors voilà , je fais remonter ce topic pour sa relation avec la fonction zêta de Riemann et son prolongement analytique.
Je m'explique:
La fonction zêta est définie sur 2$\fbox{\{z\in\mathbb{C}/Re(z)>1\}} par 3$\fbox{\zeta(z)=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^z}} ce qui s'écrit aussi 4$\fbox{\zeta(x+iy)=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{cos(yln(n))}{n^x}-i\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{sin(yln(n))}{n^x}}
Pour 2$\fbox{\fbox{x>1}} les parties réelle et imaginaire de \zeta(x+iy) sont les sommes de séries numériques absolument convergentes ( donc convergentes ).
Pour 2$\fbox{\fbox{x\leq0}} le terme général des séries en question ne tend pas vers 0 donc elles divergent.
Pour 2$\fbox{\fbox{0<x\leq1}} on montre comme l'a fait Nicolas_75 (Correcteur) que les suites 3$\fbox{a_n= \Bigsum_{k=1}^{n}\frac{cos(yln(k))}{k^x}\\b_n= \Bigsum_{k=1}^{n}\frac{sin(yln(k))}{k^x}}ne satisfont pas au critére de Cauchy donc divergent.
Ainsi on voit que la fonction 4$\blue\fbox{z\to\zeta(z)=\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^z}} n'est définie que sur le demi plan complexe 3$\red\fbox{Re(z)>1}.
Et pourtant on parle de prolongement analytique de cette fonction à tout le plan complexe privé du point 1
Si quelqu'un est intéressé le débat est ouvert

Posté par
Cauchyre : série et Cauchy 30-09-07 à 02:34

Bonsoir elhor,

bon je remonte un vieux topic(en fait je recherchais un autre truc ), on parle de prolongement analytique oui, mais alors zeta ne s'exprime plus sous la forme de cette série.

Si on a une fonction analytique qui s'exprime sous forme d'une série, on peut la prolonger par exemple en trouvant une autre fonction(sous forme d'intégrale,produit infini ou autre) qui soit holomorphe sur un domaine plus grand et qui coincide avec cette série sur le domaine voulu.


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