Salut,
tu cherches une fonction paire (vue que tu ne l'exprimes qu'en fonction de cosinus) et tu n'as rien qui t'oblige à développer ton sinus en série de Fourier, vue que tu veux une représentation sur [0,pi].

Ainsi, l'astuce est de développer |sin(x)| en série de Fourier.
Sur [0,Pi] ça correspond bien à ce que tu cherches.
a+

bonjour

Pour ta 2ème question, j'ai un début de réponse :

Ecrit  :

exp(ix) = cos(x) + i.sin(x)

Et tu vas trouver :

1/(2-exp(ix)) = [2-cos(x)-i.sin(x)]/[5-4cos(x)]

... à toi de faire le rapprochement ...

Romain

D'ailleurs je me suis trompé en tappant :

1/(2-exp(ix)) = [2-cos(x)+i.sin(x)]/[5-4cos(x)]

Je ne comprend pas bien ton intégrale en 2, vue que tu as dxdt ...
dt=cos(x) ou dt=1?

oui pardon le dt c'est une faute de frappe, il faut l'enlever, je vais me pencher sur tout ca je vous tiens au courant, je vais deja commencer par résoudre mon problème avec l'intégrale ^^
Merci!

Alors j'ai avancé dans mon calcul pour l'intégrale, et j'ai pour le moment:

Après je ne sais pas si je dois écrire les deux sommes car ca va être plus compliqué pour calculer après non?

Bonjour, lechoriste.

1/(5-4 cos(x)), c'est |f(x)|^2 (à vérifier ...)
Après, pense à l'égalité de Parseval

Ah oui je n'avais vraiment pas penser à utiliser l'égalité de Parseval!
Merci de l'indice! je me penche sur cette piste!

J'ai enfin fini mon calcul et au final je tombe sur 2/3!
J'attaque la suite maintenant ^^

N'oublie pas que, grâce à la première question, tu peux déterminer très rapidement les coefficients de Fourier complexes de f.

En effet je me suis servi de ca pour faire mon calcul, car j'ai dit que c_n=1/2ⁿ⁺¹ et c₀=1/4 puis j'ai appliqué mon égalité de Parseval!

Juste une petite précision, la première question me donne les coefficients de Fourier de f, mais ca m'implique bien que les c_-n sont nuls non?

Oui.

Il y a une démonstration à faire cependant.

Oui je l'ai faite dans ma première question, j'ai montré que f était la somme d'une série géométrique qui convergeait normalement sur R et que pour les relatifs négatifs, c_n(f)=0 et pour les positifs qu'ils étaient non nuls!

Attention, l'égalité



n'implique pas obligatoirement que les coefficients de Fourier de f sont les coefficients

Oui c'est bon j'ai vu un exemple pour savoir comment il fallait bien justifié et je l'ai bien étudié!

Sinon j'en reviens à mon troisième point, donc je considère la fonction f(x)=|sinx| qui est bien paire et sur ]0,Pi[ |sinx|=sinx, de plus f est Pi-périodique.
Donc en fait je développe |sinx| en série de Fourier, sachant que ca revient à développer sinx d'après les raisons ci-dessus.
Et j'applique ma formule de calcul des a_n (c'est à dire l'intégrale de f(x)*cos(nx))?
Par contre un truc me choque un peu puisque |sinx| est Pi-périodique, or dans la définition pour a_n c'est cos(nwx) avec w=2Pi/T, donc ca me ferait apparaitre un cos(2nx) plutot non?

Tu as raison, les coefficients a_{2n+1} seront nuls

Donc en fait j'ai juste à calculer :

J'ai donc pris comme fonction la fonction x->|sinx| qui est paire et Pi-périodique.
C'est bien ca?

Je pense que je suis en train de m'embrouiller pour mon 3).
Donc j'ai bien trouvé l'existence du a_n, il suffit de considérer la fonction définie par x->|sinx| et ca marche => ca OK.
Par contre c'est pour son calcul que je m'embrouille (calcul de a_n), et surtout au niveau des périodes car pour moi |sinx| est Pi-périodique, donc ca me fait apparaitre un cos(2nx) et non un cos(nx) comme je dois trouver (dans l'énoncé on a un cos(nx)).
Je ne sais pas si vous voyez ce que je veux dire mais ca me pose un problème la car j'ai l'impression que je cherche une complication alors qu'il ne doit pas y en avoir.
Pour mon calcul de a_n, je pense que je dois utiliser la formule que j'ai mise le 15/04/2007 à 00:30, mais c'est toujours au niveau des périodes que j'ai un problème car je ne sais pas quoi prendre!

Salut,
si tu as une fonction T périodique, ses coefficients de Fourier (en cos) sont donnés par

As tu utilisé cette formule ?
Ici, vue qu'en plus ta fonction est paire, tu peux intégrer sur [0,pi] et multiplier par 2, ca te permettra de n'intégrer que le sinus et non plus sa valeur absolue.

a+

Dans ton message de 00:30, je ne comprend pas pourquoi tu intégres sur [0,pi/2]

Oups, en relisant ton message, je me demande si tu dois intégrer cos(Tnx/2pi) ou cos(2pixn/T).
A vérifier ...

Salut otto,
en fait j'ai utilisé cette formule :

Donc comme f est paire, on a:

Mais le problème réside dans la période, puisque tu m'as dis au début de considérer la fonction x->|sinx|, j'ai bien compris pourquoi, mais cette fonction est Pi-périodique dans même! Alors c'est de la que j'ai un problème, puisque comme le sinus est positif sur ]0,Pi[, on a |sinx|=sinx et le sinus est 2Pi-périodique.
Voila en clair je m'embrouille complètement dans les périodes la!

Ok, oui tu as raison.
Moi aussi je me suis embrouillé dans les périodes et par le fait je t'ai embrouillé avec, désolé

Donc en fait je ne sais plus trop quoi faire, puisque si je repars du début, je dois trouver qu'il existe a_n tel que :

Donc en fait, le fait d'avoir un cos(nx), ca implique forcément que je dois avoir une fonction de période 2Pi, car par définition on a cos(nwt) et w=2Pi/T, donc dans mon cas j'ai w=1 donc forcément T=2Pi.
Mais le coup du |sinx| marchait bien pourtant! Mais il y a un problème sur la période alors?

Un truc peut-être débile mais si je prends comme fonction x->sgn(x).sin(x).
Cette fonction est bien paire, et 2-Pi périodique, donc ca pourrait peut-être mieux convenir que |sinx| non?

Salut,
ta fonction est pi périodique, donc entre autre 2pi périodique, non?

Laisse là comme elle est, mais toi tu t'intéresses juste aux x de [0,pi].
a+

donc d'après toi je considère x->|sinx| et je prends comme période 2-Pi pour faire mon calcul des a_n c'est ca?
Sachant que je reprends la deuxième formule de mon message de 14h13, en prenant T=2Pi, donc ca me ferait intégrer entre 0 et Pi vu que je coupe l'intervalle en 2, et que |sinx|=sinx sur cet intervalle.
Donc ca me donne:

Correct

ok merci!
je fais mon calcul et je poste mon résultat dans la soirée!

Voila j'ai mon résultat :


Par contre si à la place j'avais eu presque la même chose, trouver b_n tel que

Est-ce-que j'aurais pu considérer ici la fonction x->sgn(x).cos(x) car cette fonction est impaire et de période 2Pi, est-ce-que ca aurait marché?

En fait ca me paraitrait bizarre quand même d'utiliser cette fonction car elle n'est pas continue (en 0).
A moins de faire comme avant, sur ]0,Pi[, on a sgn(x)cos(x)=cos(x) donc ca me ferait:

On peut le faire, mais le résultat ne sera valable que pour x dans ]0,pi[. On peut en effet appliquer le théorème de Dirichlet parce que f est C^1 par morceaux et 2pi-périodique. Dans ce cas, la série de Fourier de f converge vers f(x), si x est un point de continuité de f, vers la demi-somme des limites à droite et à gauche en x, si x est un point de discontinuité de f.

Oui ca converge vers la régularisée de f c'est bien ca?
Donc dans ce cas, ca va si je considère la fonction que j'ai défini, et ainsi je calcule mon intégrale avec le cosinus, celle que j'ai écrite dans le post de 18h52?
C'est correct ce raisonnement?

Oui

Super merci de m'avoir confirmé tout ca, je m'attaquerai aux calculs demain!
Bonne soirée.

Alors j'ai trouvé:


Par contre à la fin on me demande de calculer plusieurs sommes, donc à fortiori en m'aidant de ce que j'ai fait avant, par exemple je dois calculer :

sachant que

Alors j'ai remplacé cette expression de n dans mon a_n et b_n pour essayer de faire apparaitre cette somme mais je n'y arrive pas!, je n'ai pas ce que je veux à chaque fois

Bonjour, lechoriste.
Tu avais obtenu:

Tu poses x=0 dans cette égalité, et tu obtiens la valeur de la somme que tu cherches.

Ceci dit, on pouvait obtenir directement la valeur de cette somme, en remarquant que:


Un petit détail, en passant: dans les expressions de a_n et de b_n que tu as obtenues, il faut considérer à part le cas n=1 (ton dénominateur étant nul).

Bonjour!
Ah oui en effet, je viens de faire mon calcul et pour les n impair, ca s'annule et pour les n pair, je mets sous la forme n=2n' et j'obtiens ce que je veux! Donc ca me fait ma somme égale à 1/2.
Par contre sur votre remarque, pour le n=1, en fait quand je calcule mes a_n et b_n, je fais pour le cas n>1 et pour le cas n=1.
Donc par exemple j'aurais a₀=2/, , et l'expression de a_n que j'ai trouvé au dessus pour n2!.
Donc en fait ca ne change rien dans ma somme vu que a₁=0, donc si je la fait partir de n=1 ou n=2 ca revient au même en fait.
Ok je pense que j'ai vraiment bien compris la!
Merci

Encore une dernière petite chose ^^
J'ai la somme :

J'ai dis que:

Pour les n pairs ca donne:


Puis je voulais prendre la valeur en Pi/4, car sin(n/2)=(-1)ⁿ⁺¹

Est-ce-correct de dire tout ca?

Si tu ne t'es pas planté dans les calculs et surtout, que tu as montré que tu as convergence simple, oui.
Mais ici tu auras convergence simple.

Non, ce n'est pas correct, parce que:
    si n est pair
   si n=2p+1

ah oui j'ai fait n'importe quoi la !
Donc la est-ce-que je dois passer plutot par la décomposition :
n=1/4 [(2n+1)+(2n-1)].
En remplacant le n du numérateur de la somme par cette décomposition, je me retrouve ainsi avec 2 sommes:
J'ai que :

C'est plutot dans cette voie la?
Mais le problème c'est que arrivé ici, ca ne m'avance pas plus!

Oui, cette méthode aboutit.
Il faut calculer la somme partielle d'indice n. Si tu expérimentes avec les premiers termes, tu verras qu'ils s'annulent 2 à 2 (sauf le premier ... et ...).

Oui je n'avais pas vu votre réponse mais j'ai réussi à trouver, en effet j'ai aussi trouvé que ca s'annulait 2 à 2!
Merci beaucoup!