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Série et suite

Posté par
clemclem Posteur d'énigmes 08-11-07 à 20:20

Bonjour,

Voici mes problèmes :

J'ai une suite à étudier 3$u_{n+1}=\frac{u_n+1}{u_n^2+1} et j'ai du mal à avancer (je dois ensuite étudier la série de terme général u_{n}-1.



J'ai une série dont je dois déterminer la nature : son terme générale est 4$\frac{\int_0^{\frac{\pi}{4}} tan^n(t) dt}{n^{\alpha}} est je pensais dire qu'elle est égal à un grand O d'une série de Riemann pour conclure et faire la meme chose pour 4$(-1)^n\times\frac{\int_0^{\frac{\pi}{4}} tan^n(t) dt}{n^{\alpha}} mais cela convient-il?



Je dois déterminer \Bigsum_{i=1}^{\infty} \frac{1}{4n\times(4n+1)\times(4n+2)\times(4n+3)} donc je décompose en élément simple et là je ne peux pas faire un changement d'indice qui me permettrait de conclure donc je bloque.



Pourriez vous m'aider?

Merci d'avance

A plus

Posté par
Ksilverre : Série et suite 08-11-07 à 20:51

Salut !


1)pour la premier question, commence par l'étde "standart" de Un, c'est uyn peu lourd mais il faut le faire ! (commence par étudie rapidement x->(x+1)/(x²+1) chercher les points fixe... puis chercher la limite de Un, éxaminer ca monotonie etc...) une fois que tu ura fait cela on regardera la suite. mais il faut commencer pa rla (et la suite dépendra de tes résultat...)


2) en gros la question est de trouver un dévelopemet assymptotique des la suite Un = intégral(tan(x)^n) entre 0 et Pi/4.
je oense que pour cela il faut calculer la suite Un. cherche une relation de récurence (entre Un+2 et Un) et calcule les valeurs de Uo et U1. (cette question est un peu difficile)


3) si tu peut surement faire ton changement de variable ! donne le dévelopement que tu obtiens ! en revanche ce ne sera pas une bete somme télescopique, et il faudrat surement avoir recours a des sommes déja connus (type (-1)^k/k et (-1)^k/(2k+1) ... )

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Série et suite 08-11-07 à 21:24

Bonjour,

2) J'ai u_{n+2}+u_n=\frac{1}{n+1} mais avec ca je n'arrive pas à avancer...

3) J'ai \frac{1}{4n\times(4n+1)\times(4n+2)\times(4n+3)}=\frac{1}{6}\times\frac{1}{4n}-\frac{1}{2}\times\frac{1}{4n+1}+\frac{1}{2}\times\frac{1}{4n+2}-\frac{1}{6}\times\frac{1}{4n+3}

Posté par klevia (invité)re 08-11-07 à 21:27

Salut pour 2, as-tu des conditions sur alpha ?

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Série et suite 08-11-07 à 21:30

Non il n'y a pas de conditions sur alpha.

Posté par
Ksilverre : Série et suite 08-11-07 à 21:32

pour la 2) oui c'est exactement cela !

tu peut alors exprimer U2n et U(2n+1) sous forme de somme non ?



pour la 3 : sépare le tous en deux paquet : d'un coté ceux avec un coef 1/6, de l'autre ce avec un coeff 1/2. (en justifiant que les deux paquete obtenu sont sommable séparement). tu teretrouve avec d'un coté une série des (-1)^k/k et de l'autre celle des (-1)^k/(2*k+1).

avec un peu de chance tu sais déja que la première tend vers -ln(2) et la seconde vers Pi/4. (enfin faut quand meme regarder à partir d'ou on somme...)

Posté par
perroquetre : Série et suite 08-11-07 à 21:34

Bonjour, clemclem.

De la relation de récurrence que tu as obtenue à la deuxième question, tu peux déduire que u_n est équivalent à 1/(2n).

Posté par
perroquetre : Série et suite 08-11-07 à 21:34

Bonjour, Ksilver

Posté par
Ksilverre : Série et suite 08-11-07 à 21:36

Bonsoir Perroquet.
j'ajouterai cependant que l'équivalent ne sera pas suffisent pour répondre à la deuxieme question (avec le (-1)^n...) il faut un dévelopemet assymptotique un peu plusfin. ceci dit on peut peut-etre l'obtenir directement sans passer par la somme que jevoulais étudier... à voir.

Posté par klevia (invité)re 08-11-07 à 21:41

Je crois avoir trouvé la 2.
pour tous x appartenant à [0,pi/4]
0<= tan x <= x ( une petite étude de f(x)=tan x -x le montre très rapidement )
d'ou int( tan ^n)<= int ( x^n)
int ( x^n ) = (1/n+1)(pi/4)^(n+1)

d'ou le terme général de ta série est inférieur ou égal à
pi^n/[(4^n)(n+1)(n alpha))<1/(n^(1+alpha))
qui converge quelque soit alpha>0

j'ai pas réfléchit à alpha <0 .Est-ce nécessaire tu crois ?

Posté par
clemclem Posteur d'énigmesre : Série et suite 08-11-07 à 21:46

2)Si je somme avec un (-1)^n en facteur je devrais y arriver...
Par contre pour la deuxième série je ne vois pas où vous voulez en venir.

Posté par klevia (invité)re 08-11-07 à 21:49

houla, j'ai dit que des bétises alors !!!! mais où ?

Posté par klevia (invité)re 08-11-07 à 22:20

Personne pour me dire ou je me suis plantée ?

Posté par
gillesmarseillere : Série et suite 08-11-07 à 22:25

bsr tous,
klevia,je pense que tanx>=x plutôt, ne serais-ce que en pi/43,14/4

Posté par klevia (invité)re 08-11-07 à 22:29

oh putain !!!! La honte !!!!

je me suis dit tan (pi/4) = 0 !!!
La très grosse honte !!!
Pardon de avoir fait perdre votre temps !!!

pardon, pardon pardon

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Série et suite. 08-11-07 à 22:53

Bonsoir ;

Pour la 1) juste une idée :

Pour tout entier naturel n on peut écrire 2$\fbox{|u_{n+1}-1|=|\frac{1+u_n}{1+u_n^2}-1|=\frac{|u_n|}{1+u_n^2}|u_n-1|\le\frac{1}{2}|u_n-1|} ,
d'où pour tout entier naturel n on a 3$\fbox{|u_n-1|\le\frac{|u_0-1|}{2^n}} (sauf erreur)

Posté par MissCrizyMaths (invité)re : Série et suite. 08-11-07 à 23:10

Bonsoir, excuser moi de m'introduire dans ce topic mais en faite j'ai ou plutôt nous avons un problème et nous aurions pensé que vous pourrais nous aider; nous éclairer mais ce topic n'a pas grand chose a voir avec celui ci (je ne m'exprime pas toujours bien désolé) https://www.ilemaths.net/sujet-comment-demontrer-167873.html

merci de bien vouloir nous aider vous nous serez d'une trèèèèèèèès grande aide merci merci...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Série et suite. 09-11-07 à 01:10

Pour la 3) juste une idée :

Pour tout entier n\ge1 on a bien \fbox{\frac{1}{4n(4n+1)(4n+2)(4n+3)}=\frac{1}{6}(\frac{1}{4n})-\frac{1}{2}(\frac{1}{4n+1})+\frac{1}{2}(\frac{1}{4n+2})-\frac{1}{6}(\frac{1}{4n+2})}
ce qui s'écrit aussi \fbox{\frac{1}{4n(4n+1)(4n+2)(4n+3)}=\frac{1}{6}\int_{0}^{1}(x^{4n-1}-3x^{4n}+3x^{4n+1}-x^{4n+2})dx}
ou encore \fbox{\frac{1}{4n(4n+1)(4n+2)(4n+3)}=\frac{1}{6}\int_{0}^{1}x^{4n-1}(1-x)^3dx} (sauf erreur)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Série et suite. 09-11-07 à 15:26

Pour la 2) , si je ne me trompe , le changement de variable \fbox{t\mapsto tan(t)} donne pour tout entier naturel n ,
2$\fbox{u_n=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}tan^n(t)dt=\int_{0}^{1}\frac{t^n}{1+t^2}dt} d'où (par une intégration par parties) 2$\fbox{u_n=\frac{1}{2(n+1)}+\frac{2}{n+1}\int_{0}^{1}\frac{t^{n+1}}{(1+t^2)^2}dt} ,
ce qui s'écrit aussi 3$\fbox{u_n=\frac{1}{2n}+O(\frac{1}{n^2})}.
et ainsi pour tout réel \alpha on a 4$\blue\fbox{\frac{(-1)^nu_n}{n^{\alpha}}=\frac{(-1)^n}{2n^{\alpha+1}}+O(\frac{1}{n^{\alpha+2}})} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Série et suite. 10-11-07 à 00:44

Allez , je termine le calcul pour la 3) ,

2$\fbox{\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{4k(4k+1)(4k+2)(4k+3)}=\frac{1}{6}\int_{0}^{1}(1-x)^3(\Bigsum_{k=1}^{n}x^{4k-1})dx=\frac{1}{6}\int_{0}^{1}\frac{(1-x)^3(x^3-x^{4n+3})}{1-x^4}dx} ,

il est facile de montrer que \fbox{\lim_{n\to+\infty}\int_{0}^{1}\frac{(1-x)^3}{1-x^4}x^{4n+3}dx=0} ,

d'où 3$\blue\fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{4n(4n+1)(4n+2)(4n+3)}=\frac{1}{6}\int_{0}^{1}\frac{x^3(1-x)^3}{1-x^4}dx=\frac{1}{6}\int_{0}^{1}\frac{x^3(1-x)^2}{(1+x)(1+x^2)}dx}

et une DES donne 4$\red\fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{4n(4n+1)(4n+2)(4n+3)}=\frac{11}{36}-\frac{\ell n(2)}{4}-\frac{\pi}{24}} (sauf erreur bien entendu)


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