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Série géométrique

Posté par
loicligue 14-11-22 à 17:29

Bonjour/bonsoir !

J'ai un petit trou de mémoire concernant les séries géométriques et je n'arrive pas à me retrouver.

Je dois montrer que :

Soit c une constante > 1.

\sum_{k\in N} e^{-(k+1)c} = \frac{e^{-c}}{1-e^{-c}}

Je vérifie que : |e^{-c}| < 1 donc il y a convergence. Et si je réécris la somme : \sum_{k\in N} e^{-(k+1)c} =  \sum_{k > 0} e^{c^k} =  - e^{-c} + \sum_{k \in N} e^{c^k}  grâce un changement d'indice, je devrais avoir donc - e^{-c} + \sum_{k \in N} e^{c^k} = - e^{-c} + \frac{1}{1-e^{-c}} par définition d'une série géométrique non?

Mais je n'ai donc au final pas l'égalité suivante : - e^{-c} + \frac{1}{1-e^{-c}} = \frac{e^{-c}}{1-e^{-c}}

Quelle est mon erreur ? ou mes erreurs...

Bonne soirée à vous

Posté par
carpediemre : Série géométrique 14-11-22 à 17:38

salut

ne pas confondre addition et multiplication ...

et je ne vois pas l'intérêt d'un changement d'indice ...en corrigeant la première erreur ...

a^{n + 1} = a \times a^n

Posté par
loicliguere : Série géométrique 14-11-22 à 17:50

salut carpediem !

merci pour ton aide, en effet une méthode plus rapide et plus logique est : \sum_{k \in N} e^{-(k+1)c} = e^{-c} \sum_{k \in N} e^{-ck}   et le résultat en découle alors !

mais on y arrive aussi avec un changement d'indice j'ai juste une deuxieme erreur mon -e^{-c} est faux, cela aurait du être 1 d'où mon résultat erroné...

bonne soirée à toi

Posté par
carpediemre : Série géométrique 14-11-22 à 18:44

je ne dis pas qu'on n'y arrive pas avec un changement d'indice, je dis simplement qu'il n'est pas nécessaire !!


merci et à toi aussi


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