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Serie harmonique et inegalité

Posté par
Crei 09-10-22 à 11:06

Bjr, besoin d'aide

$Soit(H_{n})$ _n^* $H_{n}=\sum_{k=1}^{n}{\frac{1}{k}},$ $demontrer$ $que$
$\in N-\left\{0;1 \right\}, n\left(n+1 \right)^{\frac{1}{n}}-n\leq H_{n}\leq n-\left(n-1 \right)n^\left( -\frac{1}{n-1}\right)$

Posté par re : Serie harmonique et inegalité 09-10-22 à 11:58

Bonjour Crei

$\Large\boxed{\ast}$ Pour tout entier $n\geqslant2$ on peut écrire :

$\Large\boxed{n-H_n=\sum_{k=2}^n\left(1-\frac{1}{k}\right)}$ et donc $\Large\boxed{\frac{n-H_n}{n-1}=\frac{1}{n-1}\sum_{k=2}^n\frac{k-1}{k}}$ .

L'IAG donne alors $\Large\boxed{\frac{n-H_n}{n-1}~\geqslant~\sqrt[n-1]{\prod_{k=2}^n\frac{k-1}{k}}=n^{-\frac{1}{n-1}}}$

Posté par re : Serie harmonique et inegalité 09-10-22 à 12:02

$\Large\boxed{\ast}$ Je te laisse trouver (c'est la même idée ! ) _{sauf erreur de ma part bien entendu}

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