Bonjour

Est-ce :



?

Oui, c'est ça.
Désolé, j'ai perdu mon LaTeX...

Indication: le résultat est 1/2
Si 3 est remplacé par z (de module >1), le résultat est 1/(z-1)
Plusieurs démonstrations sont possibles, mais il en existe
une élémentaire, compréhensible dès le lycée, qui reste cependant acrobatique, et assez introuvable...
  

Salut !


hum... avec le résultat j'ai réussit à le prouver, en remplacant le 3 par z, et en dévelopant la fonction en seri entière (on dévelope chaque terme, on permute les sommes, et on regroupe ce qu'il faut pour avoir une serie entiere...)

mais j'avous que sans le résultat j'aurais probablement jammais trouvé ^^ c'est une vrai serie infernal effectivement, je suis curieux de voir les autres solutions ^^

Bonjour !

Donc, pour |z|>1, il faut prouver que



Effectivement, on peut passer de diverses maniéres par des
séries entières, mais il y a une preuve qui se fait presque
de tête, en une ligne... et utilise essentiellement la décomposition des fractions rationnelles en éléments simples.
Cependant, quasiment personne ne la trouve.

Je vous laisse chercher encore un petit peu.

Bonjour vendredi ;
On pourra remarquer que (sauf erreur)

Bonjour,

Oui, c'est ça: on part de la décompostion

Soit  

et on remplace X par .
Ensuite, les termes se télescopent gentiment...

Bravo !

Autre méthode:

Calculer la série en 1/z, remarquer que le terme général est une
dérivée logarithmique, intégrer, et calculer le produit infini
ainsi obtenu... Ca demande plus d'outils...