Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Licence Maths 1e ann AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Série numérique

Posté par
mint02 08-09-22 à 12:28

Bonjour, pour la série suivante
\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{log(2^n +3^n)}} je dois dire si elle converge et si elle converge absolument. Je réponds comme suit: \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{log(2^n +3^n)}} <= \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{log(2^n)}}.
On a que \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{log(2^n)}} = 1/log(2)\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{n}}
et donc diverge. Ainsi, par le critère de comparaison \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{log(2^n +3^n)}} diverge.

Est - ce que mon raisonnement est juste?

Posté par
Vantinre : Série numérique 08-09-22 à 12:41

Hello, tu essayes d'appliquer ce théorème:
Soit (u_k)_k et (v_k)_k deux suites réelles à termes positifs telles que
pour tout k \in N u_k \leq v_k. Si la série   \sum _{k \ge 0} u_k diverge alors la série   \sum _{k \ge 0} v_k   est également divergente.
Cependant dans ton cas, il s'agit d'une majoration par une série divergente et non d'une minoration comme le requiert le théorème donc ça marche pas

Posté par
Ulmierere : Série numérique 08-09-22 à 12:53

\log(2^n + 3^n) = \log(3^n(1+(2/3)^n) = \log(3^n) + \log(1+(2/3)^n) = n\log(3) + \cdots

Posté par
mint02re : Série numérique 08-09-22 à 13:21

Ah ok, du coup je fais le même raisonnement avec \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{log(5^n)}  <= \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{log(2^n + 3^n)}} plutôt.

Posté par
Vantinre : Série numérique 08-09-22 à 14:05

Oui là ça va marcher !!
Une autre manière de présenter les choses c'est de procéder par équivalence en utilisant que ln(1+u) est équivalent à u en 0 :
\log(2^n + 3^n) = \log(3^n(1+(2/3)^n) = \log(3^n) + \log(1+(2/3)^n) \sim n\log(3) +(2/3)^n  \sim n
Autrement dit ta série est de la même nature que la série harmonique (vrai car elle est à terme réel positif)

Posté par
Ulmierere : Série numérique 08-09-22 à 14:19

Il faut quand même justifier que 5^n \geqslant 2^n + 3^n.

Une manière simple de faire sans parler de concavité du log  est le binôme de Newton

5^n = (2+3)^n = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}2^k3^{n-k} = 2^n + 3^n + ~\textrm{(termes positifs)} \geqslant 2^n + 3^n.

Posté par
mint02re : Série numérique 08-09-22 à 14:55

D'accord. Merci beaucoup!

Posté par
carpediemre : Série numérique 08-09-22 à 19:19

salut

\ln (2^n + 3^n) \le \ln (3^n + 3^n) = \ln 2 + n \ln 3 \le 2n $ donc $ \dfrac 1 {\ln(2^n + 3^n)} \ge \dfrac 1 {\ln 2 + n \ln 3} \ge \dfrac 1 {2n}

au moins à partir d'un certain rang !!



\forall n \ge ??  :  \left( \dfrac 2 5 \right)^n + \left( \dfrac 3 5 \right)^n \le \left( \dfrac 2 5 \right)^1 + \left( \dfrac 3 5 \right)^1 = 1    donc ...


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1768 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !