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Série numérique: nature de la série

Posté par
michou33 14-10-07 à 22:11

Bonsoir à tous,

Je suis sur mon exercice depuis quelques heures maintenant mais je n'y arrive pas, je bloque pour la première suite et j'ai besoin de votre aide.

Déterminer la nature des séries de termes général:

Un= (1+ln(n))/n²
Vn= (2^n+5)/(3^n+11)
Wn= exp(-n)
Xn=n²sin(1/2^n)

Merci d'avance pour votre aide, sinon ce n'est pas grave, je continue à chercher.

Bonne soirée

Posté par
romure : Série numérique: nature de la série 14-10-07 à 22:18

Bonsoir,

pour la première, je pense qu'il faut commencer par s'aider de l'inégalité: \ln(x) \leq x-1.

Posté par
romure : Série numérique: nature de la série 14-10-07 à 22:20

Non pardon, ça n'avance pas.

Posté par
Roulianere : Série numérique: nature de la série 14-10-07 à 22:21

Bonsoir,

Pour la première, démontre déjà que 3$ ln(n) \le \sqrt{n}

Posté par
romure : Série numérique: nature de la série 14-10-07 à 22:23

Bonsoir Rouliane, j'ai l'impression que cette série diverge, tu trouves ça aussi?

Posté par
Roulianere : Série numérique: nature de la série 14-10-07 à 22:25

Salut romu,

Non, ça converge en l'occurence avec l'inégalité de 22:21

Posté par
perroquetre : Série numérique: nature de la série 14-10-07 à 22:26

bonjour, michou33.

La première est négligeable devant \frac{1}{n^{3/2}}

La deuxième est équivalente à \left(\frac{2}{3}\right)^n

La troisième est négligeable devant \frac{1}{n^2}

La quatrième est négligeable devant \left(\frac{2}{3}\right)^n

Les 4 séries sont convergentes

Posté par
romure : Série numérique: nature de la série 14-10-07 à 22:33

ok alors qu'est-ce que je fais de faux dans ce raisonnement:

4$\frac{1+\ln(n)}{n^2} = \frac{1}{n^2} + \frac{\ln(n)}{n^2}.

on a donc 4$\lim_{n\rightarrow \infty} \Bigsum_{k=1}^n \frac{1+\ln(k)}{k^2} = \lim_{n\rightarrow \infty} \Bigsum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} + \lim_{n\rightarrow \infty} \Bigsum_{k=1}^n \frac{\ln(k)}{k^2}
(car les termes sont positifs)

Or 3$\frac{\ln(n)}{n^2} \sim \frac{n-1}{n^2} \sim \frac{1}{n},

donc 4$\lim_{n\rightarrow \infty} \Bigsum_{k=1}^n \frac{\ln(n)}{n^2}=+\infty.

Posté par
romure : Série numérique: nature de la série 14-10-07 à 22:35

j'arrive pas  voir la boulette

Posté par
Roulianere : Série numérique: nature de la série 14-10-07 à 22:37

ln(n) n'est pas équivalent à n-1 en +oo, c'est en 0 !

Posté par
romure : Série numérique: nature de la série 14-10-07 à 22:38

ah oui c'est vrai, la honte

merci Rouliane.

Posté par
Roulianere : Série numérique: nature de la série 14-10-07 à 22:40

Rooo c'est pas la honte, tout le monde peut se tromper

Posté par
romure : Série numérique: nature de la série 14-10-07 à 22:56

bon, j'arrive à montrer que \ln(n)\leq 2\sqrt{n}-1, ce qui est suffisant pour voir que la série converge,
mais je ne vois pas comment montrer que \ln(n)\leq \sqrt{n}?

Posté par
michou33re : Série numérique: nature de la série 14-10-07 à 22:56

merci pour votre aide


J'ai essayé de majoré et minoré pour la 3 et la 4 mais je ne suis pas sûre.

Sinon pour les équivalences je ne vois pas comment tu as trouvé ces résultats perroquet parce que je m'en sors pas trop pour les comparaisons ^^"

Merci encore!

Posté par
michou33re : Série numérique: nature de la série 14-10-07 à 23:03

je continue à chercher

Posté par
perroquetre : Série numérique: nature de la série 14-10-07 à 23:06

Pour la 3:

n^2 w_n= \exp(2\ln n-\sqrt{n})

La fonction ln est négligeable devant la racine carrée au voisinage de l'infini. Donc:

\lim (2\ln n-\sqrt{n}) =-\infty

\lim n^2 w_n=0

Ce qui prouve que w_n est négligeable devant 1/(n^2)

Posté par
michou33re : Série numérique: nature de la série 14-10-07 à 23:30

merci perroquet

Posté par
Roulianere : Série numérique: nature de la série 15-10-07 à 18:59

Romu >> une simple étude de fonction te permet de le montrer.
Mai sc'est vrai qu'il est plus facile de montrer que ln(x) \le 2 \sqrt{x} en passant par la convexité notamment.

Posté par
romure : Série numérique: nature de la série 17-10-07 à 12:03

ah d'accord.

Merci Rouliane


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