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Séries
Bonjour,
On me donne la série définie par le terme général suivant: .
On suppose que et
pour tout entier naturel
.
On a alors un premier cas à considérer, à savoir avec et
. On me demande alors ce que l'on peut dire de la série
. Je suppose donc qu'il faut trouver la nature de cette dernière.. non?
Si tel est le cas, j'ai essayé de traiter le cas en utilisant le critère des séries alternées, étant donné que dans cette situation, on n'a pas une série à termes de même signe.. Mais pour appliquer ce critère, il nous faut la forme , et là, je ne vois pas comment l'obtenir, surtout qu'il y a
au numérateur et au dénominateur. Je dois donc être sur une mauvaise piste.. Qu'en pensez-vous svp?
Bonjour
Tu as l'exemple type ou on ne peut pas appliquer le critère sur les séries alternées car |u_n| n'est pas décroissante. Ca marche en groupant les termes deux à deux, mais pour ça aussi il faut un théorème.
Bonjour Camélia,
Merci pour ta réponse. Concernant le sens de variation dont tu parles, je crois que ce n'est pas à d'être décroissante, mais plutôt
...
Qu'entends-tu par "grouper les termes deux à deux" exactement? Et de quel théorème parles-tu? J'ai relu mon cours, je ne vois à priori aucun théorème traitant de ça...
Bonjour robby3,
Merci à toi aussi.
J'avais pensé à le faire, mais... je le n'ai pas fait!
Si telle est bien l'expression que tu trouves, penses-tu que l'on s'en sorte par la suite? On devra considérer , et on ne pourra pas décomposer la somme, étant donné que
diverge... non?
oui je crois que ça sert à rien.Salut !
un bon petit dévelopement assymptotique ca résout tous les probleme de série :
on écrit (au signe pres...)
Un = (-1)^(n)/(sqrt(n)-(-1)^n)
Un = (-1)^n/sqrt(n) * 1/(1-(-1)^n/sqrt(n)) = (-1)^n/sqrt(n)*(1+(-1)^n/sqrt(n)+O(1/n) )
=(-1)^n/sqrt(n)+1/n +O(1/n^(3/2) )
on a donc une série divergente.
Merci à toi Ksilver, je vais essayer de reprendre ça calmement..
Si vous n'y voyez pas d'inconvénient, j'aurais une dernière question sur le même exo, mais un autre cas.. A savoir, on donne à présent de signe constant à partir d'un certain rang. Là, pas d'idées.. (ici on ne définit donc pas les deux suites comme je l'ai dit précédemment)
Je n'ai pas bien compris ce que tu as fait Ksilver... Tu as utilisé des équivalents en l'infini, des DL...?
De plus, comment l'expression finale te permet de conclure quant à la divergence de la série? La série de terme général 1/n est bien divergente, mais le reste de l'expression...??
Salut !
j'ai utilisé le Dl de 1/(1-x) = 1+x+O(x²) quand x->0, avec x=(-1)^n/sqrt(n) (qui tend bien vers 0)
apres comme Un = (-1)^n/sqrt(n)+1/n +O(1/n^(3/2) )
la somme des (-1)^n/sqrt(n) converge : c'est un série alterné.
la somme des O(1/n^(3/2)) converge par comparaison au série de rieman.
donc un terme qui diverge, deux terme qui converge, la somme est bien convergente.
euh... je reprend la conclusion :
"donc un terme qui diverge, deux terme qui converge, la somme est bien divergente."
tu dit qu'on suppose juste au an/bn est de signe constant (a partir d'un certain rang) et on veut la nature de an/(an+bn)
déja, le change an en -an et bn en -bn ne change pas la valeur de an/(an+bn)
donc on peut supposer an positif, et bn de signe de constant (à partir d'un certain rang)
si bn<0, an+bn<an, donc an/(an+bn)> 1 la série diverge grossièrement
si bn>0, n'importe qu'elle série a terme positif plus petit que 1 peut-s'ecrire an/(an+bn) donc on ne peut absoluement rien dire.
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