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series

Posté par
sabrine 22-06-08 à 19:11

bonjour,
s il vous plait aider moi de calculer la somme de cette serie avec explication


\sum_{i=1}+\infty\(frac{1}{i})\times(frac{1}{2})^i  



merci beaucoup

Edit Coll : forum modifié ; il me semble qu'Océane t'a déjà demandé, à trois reprises, de poster dans le bon forum ; le multi-compte n'est pas la solution.

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : series 22-06-08 à 19:17

3$\Bigsum_{i=1}^{+\infty}\left(\frac{1}{i}\right)\times\left(\frac{1}{2}\right)^i ???

Posté par
Nicolas_75 Correcteurre : series 22-06-08 à 19:22

Soit x dans [0;1[

3$1+x+x^2+x^3+...=\frac{1}{1-x}

On intègre par rapport à x :
3$x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\frac{x^4}{4}+...=-\ln(1-x)

3$\Bigsum_{i\ge 1}\frac{1}{i}\times x^i=-\ln(1-x)

On choisit x = 1/2
3$\Bigsum_{i\ge 1}\frac{1}{i}\times\left(\frac{1}{2}\right)^i=-\ln(1-\frac{1}{2})

3$\fbox{\Bigsum_{i\ge 1}\frac{1}{i}\times\left(\frac{1}{2}\right)^i=\ln 2}

Sauf erreur.


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