Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

séries

Posté par hanane (invité) 08-11-05 à 22:12

salut !
  comment montrer la convergence uniforme de la série ((-1)^n)(x^(2n)) / (2n+1 ) vers sa somme ?

merci d'avance !

Posté par
ottore : séries 09-11-05 à 00:34

Bonjour,
c'est une série entière, elle va converger uniformément vers sa somme sur tout le disque (de convergence) ouvert.
A+

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : séries 09-11-05 à 01:18

Bonsoir hanane;
Tu n'as pas précisé si la variable 2$x était réelle ou complexe.Je ferais une démonstration dans le cas réel.
Notons alors 4$\fbox{(\forall x\in\mathbb{R})(\forall n\in\mathbb{N})\\u_n(x)=\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n+1}\\U_n(x)=\Bigsum_{k=0}^{n}u_n(x)=1-\frac{x^2}{3}+\frac{x^4}{5}-\frac{x^6}{7}+..+\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n+1}}
(*)Si 4$\fbox{|x|>1} on voit que 4$\fbox{\lim_{n\to+\infty}|u_n(x)|=\lim_{n\to+\infty}\frac{x^{2n}}{2n+1}=+\infty}(vérification facile par Dalembert par exemple)
Donc dans ce cas la série 4$\Bigsum_{n\ge0}u_n(x) est divergente (vu que son terme général ne tend pas vers 0)
(*)Supposons désormais 4$\fbox{|x|\le1} et remarquons que 4$\fbox{xU_n(x)=\Bigsum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}} et donc que 4$\fbox{\forall x\in]-1,1[\\(xU_n)'(x)=\Bigsum_{k=0}^{n}(-x^2)^{k}=\frac{1+(-1)^{n}x^{2n+2}}{1+x^2}} et donc que 4$\fbox{\forall x\in]-1,1[\\xU_n(x)=arctan(x)+(-1)^n\int_{0}^{x}\frac{t^{2n+2}}{1+t^2}dt} et donc que 4$\fbox{\forall x\in]-1,0[\cup]0,1[\\U_n(x)=\frac{arctan(x)}{x}+\frac{(-1)^n}{x}\int_{0}^{x}\frac{t^{2n+2}}{1+t^2}dt} les deux fonctions de part et d'autre de cette dernière égalité étant continues sur 4$[-1,1] on conclut qu'on a en fait que:
4$\fbox{\forall x\in[-1,1]\\U_n(x)=\frac{arctan(x)}{x}+\frac{(-1)^n}{x}\int_{0}^{x}\frac{t^{2n+2}}{1+t^2}dt} et donc que 5$\fbox{\forall x\in[-1,1]\\|U_n(x)-\frac{arctan(x)}{x}|\le\frac{1}{|x|}\int_{0}^{|x|}\frac{t^{2n+2}}{1+t^2}dt\le\frac{1}{|x|}\int_{0}^{|x|}t^{2n+2}dt=\frac{|x|^{2n+2}}{2n+3}\le\frac{1}{2n+3}}
Ce qui prouve que la série 5$\fbox{\Bigsum_{n\ge0}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n+1}} converge normalement (donc en particulier uniformément) sur 4$[-1,1] vers sa somme 5$\fbox{U{:}[-1,1]\to\mathbb{R}\\\hspace{5}x\to\frac{arctan(x)}{x}}

Remarques:
Des formules en bonus:
(*) 5$\red\fbox{\forall x\in[-1,1]\\arctan(x)=\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}} et 5$\red\fbox{(\forall x\in[-1,1])(\forall n\in\mathbb{N})\\|arctan(x)-\Bigsum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k}x^{2k+1}}{2k+1}|\le\frac{1}{2n+3}}
(*)5$\red\fbox{\pi=4(\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n}}{2n+1})=4(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+..)}
(*)5$\red\fbox{\int_{0}^{1}\frac{arctan(x)}{x}dx=\Bigsum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^2}}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
ottore : séries 09-11-05 à 03:51

Ici on devrait pouvoir s'en sortir sans antant de travail.
Le critère d'Abel peut s'appliquer si ma méthode n'est pas satisfaisante...

Posté par hanane (invité)re : séries 09-11-05 à 20:11

merci otto ,merci elhor_abdelali ,tu écris avec un très joli latex ,belle présentation !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : séries 09-11-05 à 21:08

Bonsoir;
Attention otto,il n'est pas vrai qu'une série entière converge uniformément vers sa somme sur le disque ouvert de convergence:
Prends l'exemple de la série 4$\fbox{\Bigsum_{n\ge0}z^n} dont le disque de convergence est le disque ouvert 4$\fbox{D=\{z\in\mathbb{C}\hspace{5}/\hspace{5}|z|<1\}} si on note 4$\fbox{(\forall z\in D)(\forall n\in\mathbb{N})\\S(z)=\frac{1}{1-z}\\S_n(z)=\Bigsum_{k=0}^{n}z^k} on a 4$\fbox{(\forall z\in D)(\forall n\in\mathbb{N})\\S(z)-S_n(z)=\Bigsum_{k=n+1}^{+\infty}z^k=\frac{z^{n+1}}{1-z}}
et tu vois bien que 4$\fbox{(\forall n)\\\sup_{z\in D}|S(z)-S_n(z)|\ge\frac{|1-\frac{1}{n+1}|^{n+1}}{|1-(1-\frac{1}{n+1})|}=(n+1)(1-\frac{1}{n+1})^{n+1}\{{\to+\infty}\\{n\to+\infty}}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : séries 09-11-05 à 22:52

Ce qui serait juste,à mon avis,c'est de dire qu'une série entière converge uniformément vers sa somme sur tout compact contenu dans son disque ouvert de convergence.

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
ottore : séries 09-11-05 à 23:04

Il me semblait (dixit le théorème de taylor sur les fonctions analytique) qu'une série entière converge vers sa limite de manière uniforme sur le plus grand disque ouvert possible.
En effet, ceci est faux ici, je dois oublier une hypothèse.

En effet, on a en revanche la convergence sur tout compact.
A+


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1675 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !