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Salut, j'ai eu des difficultés à résoudre l'exercice suivant.
Soit a et b deux nombres tels que ,
, montrer que la famille
est sommable.
Merci d'avance.
Il suffit de traiter le cas où a = b .
Soit c 
]0 , 1[ et u : 
² 
+ définie par u(p , q) = 1/(cp + cq)
Pour montrer que 
u < +
on peut chercher , pour chaque n , un majorant v(n) de { 1/(cp + cn-p) │ 0 
p n } tel que v < + .
Désolé etniopal, mais je comprends pourquoi tu prends c compris entre 0 et 1. Et je ne comprends ton raisonnement.
Désolé etniopal, mais je n'arrive pas suivre ton raisonnement. Quelle est la propriété que vous utilisez?
Bonjour.
L'objectif est de montrer qu'il existe une constante telle que pour toute partie finie
de
, on a
On voit que n'importe quelle partie finie de
peut se mettre dans un "triangle" du genre
pour un certain entier
(prendre pour
le maximum de
pour
). On est donc ramené à démontrer qu'il existe une constante
telle que pour tout entier naturel
La suggestion de Lapointe (Boby pour les intimes 
) est de commencer par essayer de majorer, pour fixé
Supposons , et donc
. Il nous suffit de majorer intelligemment
(C'était une autre suggestion de Lapointe). Et maintenant, je me permets de glisser une autre suggestion : l'inégalité arithmético-géométrique permet de minorer la moyenne arithmétique de deux réels positifs par leur moyenne géométrique ...
Oui , excuse moi !! On reprend .
Pour a et b > 1[ , 1/(ap + bq) est majoré par 1/(cq + cq) où c = a ou b .
Il suffit donc de montrer que , pour tout réel c > 1 , s := 
p,q1/(cq + cq) est un réel .
Soit n .
L'étude de t 
ct + cn - t sur [0 , n] montre que 2u(p , n - p) exp(-n/2) pour tout entier p de [0 , n] .
On a donc 2s n (n + 1)exp(-n/2) .
effectivement, très élégant 
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