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Séries

Posté par
NapoleonDuRoy 12-05-24 à 17:41

Bonjour,
Cela fait plusieurs exos que je rencontre qui me demandent de calculer \int_{0}^{1}({\lim_{n->+infini}\frac{t^n}{t+1}dt})
Cela vaut 0 (enfin d'après mes calculs pour de grandes valeurs) mais je n'arrive pas à le prouver.
Je n'arrive pas à encadrer pour majorer facilement, et je ne vois pas d'équivalent ou autre évident.
Pourriez- vous m'aider svp
Merci

Posté par
carpediemre : Séries 12-05-24 à 17:47

salut

sur l'intervalle [0, 1]

Posté par
carpediemre : Séries 12-05-24 à 17:48

0 \le \frac {t^n} {1 + t}\le t^n

puis théorème des gendarmes ...

Posté par
NapoleonDuRoyre : Séries 12-05-24 à 17:56

C'était évident... shame on me
Merci beaucoup !

Posté par
carpediemre : Séries 12-05-24 à 19:02

de rien

Posté par
NapoleonDuRoyre : Séries 12-05-24 à 19:20

Et concernant la nature de la série de terme général l'intégrale que j'ai donnée ? Peut-on la déterminer avec ce que vous m'avez donné ? Ou c'est une toute autre méthode ?

Posté par
carpediemre : Séries 12-05-24 à 20:08

\sum_0^n \dfrac {t^k} {1 + t} \le \sum_0^n t^k

ce dernier membre est une série géométrique convergente pour tout t < 1

on peut donc prendre l'intégrale sur l'intervalle [0, 1 - \epsilon], faire tendre n vers l'infini puis regarder ce qui se passe quand \epsilon \to 0

Posté par
carpediemre : Séries 12-05-24 à 20:09

carpediem @ 12-05-2024 à 20:08

\sum_0^n \dfrac {t^k} {1 + t} \le \sum_0^n t^k

ce dernier membre est une série géométrique convergente pour tout t < 1

on peut donc prendre l'intégrale sur l'intervalle [0, 1 - \epsilon] , faire tendre n vers l'infini puis regarder ce qui se passe quand \epsilon \to 0


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