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séries alternées

Posté par
aurelie231 30-03-08 à 20:45

Bonsoir,
pourriez vous m'aider, svp, pour cette question ?

Soit Somme de ((-1)^n an) une série satisfaisant les hypothèses du théorème des séries alternées, établir que :
(aN+1 - aN+2) <= |RN| <= aN+1
(RN est le reste d'ordre N...)

Voilà,
merci d'avance
A+

Posté par
Tigweg Correcteurre : séries alternées 30-03-08 à 21:18

Bonsoir aurelie231

(a_n) est positive et décroissante donc pour tout k, on a

(a_{k+1}-a_{k+2})\ge 0.

D'où, pour tout n:

\Bigsum_{k=n+2}^{+\infty}(a_{k+1}-a_{k+2})\ge 0.



Alors 4$a_{n+1}-a_{n+2}\le a_{n+1}-a_{n+2}+\Bigsum_{k=n+2}^{+\infty}(a_{k+1}-a_{k+2})=\Bigsum_{k=n}^{+\infty}(a_{k+1}-a_{k+2})=|R_n|



De plus la même remarque permet d'affirmer que pour tout k, 4$(-a_{k+2}+a_{k+3})\le 0.


Donc:


4$|R_n|=a_{n+1}\;+\Bigsum_{k=n}^{+\infty}(-a_{k+2}+a_{k+3})\;\le a_{n+1}

Posté par
aurelie231re : séries alternées 30-03-08 à 21:34

Merci, mais j'ai un problème pour |Rn| = ....

Posté par
Tigweg Correcteurre : séries alternées 30-03-08 à 21:40

J'en étais sûr, j'avais hésité à détailler mais j'ai été paresseux!



En fait tous les termes impairs il y a un moins dans la série.

Donc 4$R_{2n}=-\Bigsum_{k=2n}^{+\infty}(a_{k+1}-a_{k+2})

et 4$R_{2n+1}=\Bigsum_{k=2n+1}^{+\infty}(a_{k+1}-a_{k+2})



avec chaque parenthèse positive.



Dans tous les cas, on a donc bien:



4$|R_{n}|=\Bigsum_{k=n}^{+\infty}(a_{k+1}-a_{k+2})

Posté par
aurelie231re : séries alternées 30-03-08 à 21:57

ah oui d'accord.
Merci pour votre aide
Bonne soirée

Posté par
Tigweg Correcteurre : séries alternées 30-03-08 à 22:02

Bonne soirée, avec plaisir

Posté par
aurelie231re : séries alternées 30-03-08 à 22:20

Par hasard la géométrie est dans votre domaine ? car j'ai 2 petits exos qui me laissent perplexe...

Posté par
Tigweg Correcteurre : séries alternées 30-03-08 à 22:26

Oui mais je ne pourrai plus, ce soir, je vais quitter l'île!

Cela dit d'autres personnes répondront sans doute

Posté par
aurelie231re : séries alternées 30-03-08 à 22:27

D'accord. Merci

Posté par
Tigweg Correcteurre : séries alternées 30-03-08 à 22:27

De rien et encore bonne soirée.


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