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Séries cos(n.a)/Log(n) et sin(n.a)/Log(n)
Bonjour,
Dans un exercice sur les séries, j'en suis arrivé à étudier les séries de terme général (a réel) :
u_n = cos(n.a)/Log(n)
v_n = sin(n.a)/Log(n)
qui sont bien sûr les parties réelle et imaginaire de exp(i.n.a)/Log(n)
A part les cas triviaux où a est multiple de 
, je tourne un peu en rond, si j'ose dire 
Mon intuition me dit que à part ces cas-là, les cos(n.a) et sin(n.a) sont denses sur le cercle unité, et comme Log(n) croît de plus en plus lentement avec n, il doit être possible d'associer les termes de la bonne façon pour se rapprocher de séries alternées.
Si quelqu'un a une idée, je suis preneur... Merci d'avance !
LeHibou
Salut !
on te demande juste de prouver la convergence ? ou bien de calculer le limite ?
si c'est juste pour pouver la convergence, on est typiquement dans le cas d'application de la régle d'abel.
cette regle dit que :
si somme de k=1 a n bk est borné, et que an est une suite qui décroit vers 0, alors somme des an*bn converge.
tu applique cela bien entendu a an=1/log(n) et bn=cos(na) qui vérifie les hypothese.
bon le probleme c'est que cette regle n'est pas au programe de spé... mais tu l'as peut-etre déja rencontré (il est fortement recomandé de savoir démontré ceci ^^)
pour la prouvé, il faut faire une transformation d'abel, pour exprimer la somme des an*bn, en fonction de la somme des (an+1-an)*Bn
(ou Bn désigne somme des bk)
a partir de la, (an+1-an)*Bn=O(an+1-an) car Bn est borné et somme des an+1 -an est absoluement convergente, donc la série des (an+1-an)*Bn
est absoluement convergente, donc convergente, et on en déduit que la somme des an*bn.
(voila, il te reste plus qu'a écrire la transformation d'abel ! )
NB : je rapelle qu'une transformation d'abel, s'effectue toujours sur les somme partielles, jammais sur la serie elle meme (on le fait sur la somme partielle, puis on passe à la limite...)
Merci Ksilver,je me sens mieux d'un seul coup !
Reste à montrer que la somme des cos(n.a) est majorée, mais ça il me semble que c'est un classique, en cherchant bien j'ai déjà dû le faire dans un exercice antérieur...
Lehibou
"la somme des cos(n.a) est majorée" >>>
la somme des cos(na) ce calcule de facon explicite (a partir de la somme des exp(I*n*a) qui est une serie géométrique)
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