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séries de fonctions !

Posté par hanane (invité) 23-10-05 à 15:56

salut !

soient (Un) une suite réelle décroissante en convergeant vers 0 et

(A_n) une suite complexe tel que : Il existe M > 0 tel que


la valeur absolue de la somme de {k=0} à {n} de A_k (x) < ou égale à M

quelquesoit x dans I et quelquesoit n dans N ,

1/ montrer que la series de ( U_n ^ A_n ) converge uniformément sur I

2/ application : Montrer que la série de ( sin(nx) / n ) converge

uniformément sur [a,2pi-a] , pour 0<a<pi , Ya-t-il convergence uniforme

sur ]0,2pi[ ?


merci d'avance

Posté par Babou14 (invité)re : séries de fonctions ! 23-10-05 à 16:53

Il y a un problème dans ton exo: Si je prends An=0, et Un quelconque positive, je trouve UnAn=1 et donc ça ne forme pas une série convergente.

A moins que ton signe ^ signifie autre chose...

Posté par hanane (invité)re : séries de fonctions ! 23-10-05 à 21:22

oh oui je suis désolée , il fallait  écrire (U_n)( A_n)  c'est à dire le produit des deux suites

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : séries de fonctions ! 23-10-05 à 23:19

Bonsoir hanane,bonsoir Babou14;
1)
Notations:
3$\fbox{(\forall x\in I)\hspace{5}(\forall n\in\mathbb{N})\\F_n(x)=\Bigsum_{k=0}^{n}u_kA_k(x)} 3$\fbox{(\forall x\in I)\hspace{5}(\forall n\in\mathbb{N})\\S_n(x)=\Bigsum_{k=0}^{n}A_k(x)}
Résolution:
3$\fbox{(\forall x\in I)\hspace{5}(\forall n\in\mathbb{N})\hspace{5}(\forall p\in{\mathbb{N}}^*)\\F_{n+p}(x)-F_n(x)=\Bigsum_{k=n+1}^{n+p}u_kA_k(x)=\Bigsum_{k=n+1}^{n+p}u_k(S_k(x)-S_{k-1}(x))=\Bigsum_{k=n+1}^{n+p}u_kS_k(x)-\Bigsum_{k=n+1}^{n+p}u_kS_{k-1}(x)}
Dans la seconde somme effectuons le changement d'indice k\to k-1 on obtiens que:
3$\fbox{(\forall x\in I)\hspace{5}(\forall n\in\mathbb{N})\hspace{5}(\forall p\in{\mathbb{N}}^*)\\F_{n+p}(x)-F_n(x)=\Bigsum_{k=n+1}^{n+p}u_kS_k(x)-\Bigsum_{k=n}^{n+p-1}u_{k+1}S_k(x)=u_{n+p}S_{n+p}(x)-u_{n+1}S_n(x)+\Bigsum_{n+1}^{n+p-1}(u_k-u_{k+1})S_k(x)}
En tenant compte du fait que la suite (u_n)_{n\ge0} décroit vers 0 et que la suite (S_n(x))_{n\ge0} est uniformément bornée sur I on peut écrire que:
3$\fbox{(\forall x\in I)\hspace{5}(\forall n\in\mathbb{N})\hspace{5}(\forall p\in{\mathbb{N}}^*)\\|F_{n+p}(x)-F_n(x)|\le2Mu_{n+1}+M\Bigsum_{n+1}^{n+p-1}(u_k-u_{k+1})\le3Mu_{n+1}} et on voit donc que:
3$\blue\fbox{(\forall p\ge1)\\\lim_{n\to+\infty}\hspace{5}\sup_{x\in I}|F_{n+p}(x)-F_n(x)|=0}
Ce qui veut dire que la suite de fonctions (F_n(x))_{n\ge0} (et par suite la série de fonctions (\Bigsum\hspace{5}u_nA_n(x))_{n\ge0}) est uniformément de cauchy sur I.\mathbb{C} étant complet on conclut que la série de fonctions (\Bigsum\hspace{5}u_nA_n(x))_{n\ge0} converge uniformément sur I vers sa sommme 3$\fbox{F{:}I\to\mathbb{C}\\x\to\Bigsum_{n=0}^{+\infty}u_nA_n(x)}.

Sauf erreurs bien entendu

Posté par hanane (invité)re : séries de fonctions ! 23-10-05 à 23:59

merci elhor_abdelali , c très bien écrit . tu es étudiant ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : séries de fonctions ! 24-10-05 à 04:07

Bonsoir hanane,je suis prof:
2)
pour l'application 3$\fbox{u_n=\frac{1}{n}\\A_n{:}\{{I_a=[a,2\pi-a](a\in]0,\pi[)\to\mathbb{R}\\x\to sin(nx)} il est alors clair que la suite (u_n)_{n\ge1} décroit vers 0
Reste à vérifier si la série de fonctions \Bigsum_{n\ge1}A_n(x) est uniformément bornée sur I_a allons y:
3$\fbox{(\forall n\ge1)(\forall x\in I_a)\\\Bigsum_{k=1}^{n}A_k(x)=\Bigsum_{k=0}^{n}sin(kx)=\Bigsum_{k=0}^{n}Im(e^{ikx})=Im(\Bigsum_{k=0}^{n}e^{ikx})=Im(\Bigsum_{k=0}^{n}(e^{ix})^k)} et vu que 3$\fbox{\forall x\in I_a\\e^{ix}\neq1} on a que:
3$\fbox{(\forall n\ge1)(\forall x\in I_a)\\\Bigsum_{k=1}^{n}A_k(x)=Im(\Bigsum_{k=0}^{n}\frac{1-e^{i(n+1)x}}{1-e^{ix}})=Im(\Bigsum_{k=0}^{n}\frac{e^{\frac{i(n+1)x}{2}}(e^{\frac{-i(n+1)x}{2}}-e^{\frac{i(n+1)x}{2}})}{e^{\frac{ix}{2}}(e^{\frac{-ix}{2}}-e^{\frac{ix}{2}})})=Im(\Bigsum_{k=0}^{n}\frac{sin(\frac{(n+1)x}{2})}{sin(\frac{x}{2})}e^{\frac{inx}{2}})} c'est à dire que:
3$\fbox{(\forall n\ge1)(\forall x\in I_a)\\\Bigsum_{k=1}^{n}A_k(x)=\frac{sin(\frac{(n+1)x}{2})sin(\frac{nx}{2})}{sin(\frac{x}{2})}} et donc que 3$\blue\fbox{(\forall n\ge1)(\forall x\in I_a)\\|\Bigsum_{k=1}^{n}A_k(x)|\le\frac{1}{sin(\frac{x}{2})}\le\frac{1}{sin(\frac{a}{2})}=M}
Le 1) permet donc de conclure que la série de fonctions \Bigsum_{n\ge1}\frac{sin(nx)}{n} converge uniformément vers sa somme sur [a,2\pi-a] et ceci pour tout a\in]0,\pi[.

Remarque:
Ceci veut dire aussi que la série de fonctions \Bigsum_{n\ge1}\frac{sin(nx)}{n} converge uniformément vers sa somme sur tout compact contenu dans ]0,2\pi[.

Mais la convergence n'est pas uniforme sur ]0,2\pi[:
car si elle l'était on devrait avoir en particulier que 3$\fbox{\lim_{n\to+\infty}\sup_{x\in]0,2\pi[}|\Bigsum_{k=n+1}^{2n}\frac{sin(kx)}{k}|=0}
ce qui n'est pas le cas puisque 3$\fbox{\sup_{x\in]0,2\pi[}|\Bigsum_{k=n+1}^{2n}\frac{sin(kx)}{k}|\ge|\Bigsum_{k=n+1}^{2n}\frac{sin(k\frac{\pi}{4(n+1)})}{k}|\ge\frac{sqrt2}{2}\Bigsum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}\ge\frac{sqrt2}{4}}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
kachouyabre : séries de fonctions ! 24-10-05 à 13:06

Bonjour Elhor

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : séries de fonctions ! 24-10-05 à 19:53

Bonsoir kachouyab

Posté par downfall (invité)re : séries de fonctions ! 24-10-05 à 20:55

Bonsoir
remarque hors sujet : je pense que elhor_abdelali mérite d'être correcteur, ses réponses sont toujours excellentes, régulières et très bien écrites...

Posté par Concupiscence (invité)re : séries de fonctions ! 24-10-05 à 20:57

je dirais meme plus elhor_abdelali is GOD
but no corrector :p

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : séries de fonctions ! 24-10-05 à 21:16

Bonsoir downfall et Concupiscence,je vous remercie pour vos posts et espére ^tre toujours à la hauteur de votre considération.
Merci encore

Posté par
kachouyabre : séries de fonctions ! 25-10-05 à 02:20

Bonsoir downfall et Concupiscence
je suis tout a fait d'accord avec vous.Elhor devait etre nomé correcteur depuis bien lontemps... Merci Elhor


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