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Séries de fonctions
Bonjour,
Je planche sur un exo qui demande notamment d'étudier la convergence simple de la série suivante : somme de n=1 à l'infini de terme général suivant ;
fn(x)=(exp(-nx)*sin(nx))/ln(n+1)
La correction de cette question utilise la règle de Riemann avec alpha = 2 > 1. Elle dit :
n2[(exp(-nx)*sin(nx))/ln(n+1)] tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Donc la série (numérique) de terme général (exp(-nx)*sin(nx))/ln(n+1) converge, autrement dit la série de fonction fn:x -> (exp(-nx)*sin(nx))/ln(n+1) converge simplement.
Ma question porte justement sur cette règle de Riemann ici utilisée : en effet, je lis qu'elle ne vaut que pour les séries dont le terme général est positif, ce qui - sauf erreur de ma part - n'est pas le cas ici, puisque entre 0 et +l'infini, le sinus n'est pas strictement positif !
Mais alors qu'est-ce qui cloche ?
Merci par avance.
Bonjour
C'est exact pour le problème du signe.
Mais en réalité je pense qu'il faut s'intéresser à la CVA (qui impliquera la CVS)
Oui c'est cela.
Disons que ici on raisonne à x>0 fixé. j'appelle f_n(x) la fonction.
si on a montré que
Pour tout x>0 (qcq) que la série [|f_n(x)|] CV (CVA sur R^+*) alors la série [f_n(x)] converge simplement sur (CVS sur R^+*)
Maintenant la CVU c'est intéressant, mais assez souvent on a mieux la CVN (qui implique la CVU) et est en général plus pratique à démontrer.
Il faut savoir aussi que la CVN implique la CVA. Attention on parle de tout cela sur un domaine (souvent un intervalle)
Rebonjour
Quand je vois une telle série je fera comme ceci
Soit a>0 (qcq mais fixé).
On a pour tout x\geq a
Hors la série est cv donc la série [f_n] CVA sur
D'une part c'est direct et c'est plus fort comme résultat.
Oui, c'est vrai.
Mais pour cette série de terme général e-na, elle converge simplement vers la fonction 1/(1-e-na), n'est-ce pas ?
Oui, c'est vrai.
Mais pour cette série de terme général e-na, elle converge simplement vers la fonction 1/(1-e-na), n'est-ce pas ?
Il y a un n de trop dans ta derniere ligne.
Bonjour !
Je reprends ta phrase !
Ma question porte justement sur cette règle de Riemann ici utilisée : en effet, je lis qu'elle ne vaut que pour les séries dont le terme général est positif, ce qui - sauf erreur de ma part - n'est pas le cas ici, puisque entre 0 et +l'infini, le sinus n'est pas strictement positif !
Telle qu'énoncée la règle de Riemann (la limite de $n\mapsto n^2u_n$ est nulle) est parfaitement utilisable sans étude du signe.
Si la limite est nulle la limite de la valeur absolue est nulle aussi et comme tu obtiens la convergence, pas de problème.
Si tu obtiens une divergence, c'est autre chose...
Bonjour luzak !
Je m'excuse mais je n'arrive pas à lire l'énoncé entre parenthèses de ta règle de Riemann...
Pourrais-tu le réécrire si ça ne t'embête pas ?
Merci !
Tout bêtement :
Telle qu'énoncée la règle de Riemann (la limite de est nulle) est parfaitement utilisable sans étude du signe.
Ah oui, merci.
En revanche l'utilisation de cette règle permet de conclure que la série de fonctions converge simplement, mais elle ne permet pas de conclure sur l'expression de la fonction limite simple.
Comment peut-on faire ?
Merci !
Après quelques exos, j'en conclus finalement que c'est du cas par cas...
J'aurais quand même une question qui concerne la série de fonctions, pour x appartenant à l'intervalle ouvert 0;+l'infini :
fn(x) = (-1)n/(n+x)
Il s'agit de montrer que la série de fonction "Somme des fn" converge simplement vers une fonction f (ce que j'ai réussi à faire),
puis de montrer que f'(x)= Somme de n=0 à l'infini de : (-1)n+1/(n+x)2
Quelqu'un voit comment s'y prendre ?
Merci par avance de votre temps...
Bonjour,
Il me semble qu'il faut démontrer que la série de fonctions fn(x) converge uniformément sur l'intervalle considéré, condition nécessaire pour ensuite appliquer un théorème de dérivation terme à terme d'une série de fonctions.
Bonsoir,
Oui, c'est bien ce que je me disais. En revanche j'ai un souci dans le calcul de la dérivée de fn : pour moi, fn'(x)= - (-1)n/(n+x)2.
Or le corrigé semble dire que cette dérivée vaut (-1)n+1/(n+x) 2
Voyez-vous d'où vient ce problème de puissance ?
Merci encore...
Bonjour,
la formule de dérivation contient un terme de la forme - uv' = - (-1)n . 1 = (-1)n+1, non ?
Bonjour,
Sauf erreur, ce qu'a dit scoatarin vaut pour les séries entières, mais pas pour les séries de fonctions dans le cas général.
La série étant convergente, Il faut s'assurer que la série formelle
converge uniformément pour conclure.
Revoir le théorème sur la dérivabilité d'une série de fonctions.
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