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séries de fonctions et convergence(1)

Posté par
robby3 20-04-07 à 22:07

Bonsoir tout le monde, je m'attaque aux séries de fonctions et à leur convergence,je commence par un exercice d'application du cours(parce que le cours est tellement dense que je prefere y aller pas à pas)

voici l'exo:

\rm On considere la serie de fonction de terme general u_k(x)=(-1)^k.k^{-x} \\ \\ a)Montrer qu'ele converge ssi x>0 \\ \\ b)Montrer qu'elle converge absolument ssi x>1 \\ \\ c)Montrer qu'elle converge normalement sur [a,+\infty[ ssi a>1 \\ \\ d)Montrer qu'elle converge uniformement sur [a,+\infty[ ssi a>0

mes réponses:
a)critere des séries alternées,il faut que k^(-x) soit décroissante,donc sa dérivée négative,on trouve bien x>0

b)en valeur absolue ça converge ssi 1/(k^x) <= 1/k² donc ssi x<1

c)pour la convergence normale,on regarde le sup de la valeur absolue du terme général de la série et on essaye de le majorer par un truc qui converge.
Ici, sup|u_k(x)| pour x dans [a,+oo[ est |u_k(a)|=1/(k^a) qui conerge ssi a>1.

d)la on regarde le sup|Rn| ou Rn est le reste de la série u_k(x): ici le reste est:
\rm R_n=\Bigsum_{k=N+1}^{\infty} (-1)^k.k^{-x}\le \frac{1}{k^{x+1}} car serie alterne

d'ou \rm Sup|Rn|\le \frac{1}{k^{a+1}} qui converge ssi x+1>1 cad x>0

Merci d'avance de votre aide.

Posté par
kaiser Moderateurre : séries de fonctions et convergence(1) 20-04-07 à 22:14

re robby

a) attention : le TSSA ne donne pas une condition nécessaire et suffisante de convergence de ce genre de série.
Il faut donner un autre argument.

Kaiser

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(1) 20-04-07 à 22:20

ah bon pour qu'une série alternée converge, il faut que que a_n soit décroissante et tende vers 0 non?

et bien la je calcule la dérivé qui est négative ssi x est positif.(d'ileurs pour que ça tende vers 0 ce serait mieux)

c'est quoi qui va pas?
est ce que c'est les valeurs du kqui viennent tout chambouler?

Posté par
kaiser Moderateurre : séries de fonctions et convergence(1) 20-04-07 à 22:35

Citation :
ah bon pour qu'une série alternée converge, il faut que que a_n soit décroissante et tende vers 0 non?


pas du tout !
Par exemple : pour n non nul

\Large{u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2} }} si n est pair et \Large{u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n^{3} } si n est impair.

Kaiser

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(1) 20-04-07 à 22:43

\rm Soit (a_n)_{n\ge n_0} une suite de nombres complexes,tous reels \\ positifs pour n\ge n_1 avec: \\ \\ n\ge n_1 => a_n\ge a_{n+1}\ge 0 \\ \\ \lim_{n\to \infty} a_n=0 \\ \\ Alors la serie [(-1)^na_n]_{n\ge n_0}

c'est bon ça?

je comprend pas ton exemple?!

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(1) 20-04-07 à 22:48

désolé pour le latex la 1er fois
il faut terminer la phrase, alors...est convergente.

Posté par
kaiser Moderateurre : séries de fonctions et convergence(1) 20-04-07 à 22:52

oui ça c'est correct mais ça ne donne une condition suffisante pas nécessaire.

En ce qui concerne mon exemple : c'est une suite du type \Large{(-1)^{n}a_{n}} avec \Large{(a_{n})} qui n'est pas décroissante.
on a \Large{a_{2n}=\frac{1}{(2n)^{2}}} et \Large{a_{2n+1}=\frac{1}{(2n+1)^{3}}}.

à l'aide d'un dessin, on voit que cette suite n'est décroissante à partir d'aucun rang.
Pourtant, la série converge car on a \Large{|u_{n}|\leq \frac{1}{n^{2}}}.

Kaiser

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(1) 20-04-07 à 23:01

ah ok d'accord...
Dasn ce cas je vois pas ce que je peux rajouter.
J'était au moins sur de moi pour la premiere ...et ben non donc la je sais pas quoi faire.

Posté par
kaiser Moderateurre : séries de fonctions et convergence(1) 20-04-07 à 23:04

En fait, tu as utilisé une condition nécessaire qui en générale n'est pas suffisante, mais dans le cas présent, ça l'est : le fait que le terme général vers 0.
Ceci te donne une condition nécessaire sur x.
Le TSSA te donne la condition suffisante.

Kaiser

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(1) 20-04-07 à 23:09

il suffisait de rajouter que le terme général tend vers 0 ?!

(ça c'est vrai que si x>0...)

Posté par
un1re : séries de fonctions et convergence(1) 20-04-07 à 23:10

(Bonsoir excusez mon intrusion
j'aurais bien aimé savoir ce qu'est le TSSA...)

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(1) 20-04-07 à 23:16

theoreme spécial des séries alternées (appelez aussi critere spécial des séries alternées)
Bonosir un 1

Posté par
un1re : séries de fonctions et convergence(1) 20-04-07 à 23:17

ok merci pour la réponse bonne continuation

Posté par
kaiser Moderateurre : séries de fonctions et convergence(1) 20-04-07 à 23:26

Citation :
il suffisait de rajouter que le terme général tend vers 0 ?!


En gros oui !
Plus précisément, il faut dire que pour que la série soit bien définie, il faut nécessairement que le terme générale tend vers 0 donc que x >0.
Ensuite, on dit que cette condition est suffisante grâce au TSSA,euh désolé le Théorème Spécial des Séries Alternées ! (au passage, bonsoir un1).

Kaiser

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(1) 20-04-07 à 23:36

Ok Kaiser!

la suite est-elle correct?

Posté par
kaiser Moderateurre : séries de fonctions et convergence(1) 20-04-07 à 23:42

Pour la b, pourquoi ça converge si et seulement si \Large{\frac{1}{k^{x}}\leq \frac{1}{k^{2}}} ?

Kaiser

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(1) 20-04-07 à 23:49

Bon je crois que vu comme c'est parti j'ai tout faux!

j'ai dit ça par comparaison,je trouvais ça naturel comme les séries de termes génaral 1/k sont convergentes à partir de 1/k² je me suis dis si ça converge ça doit etre au moins inferieur à 1/k²...
C'était pas comme ça qu'il fallait faire je suppose,vu ta question,j'ai encore du loupé un truc!

Posté par
kaiser Moderateurre : séries de fonctions et convergence(1) 20-04-07 à 23:54

je disais ça car ta conclusion n'était pas logique avec ceci : en effet, ceci est équivalent à x supérieur ou égal à 2.
Ici, lorsque l'on prend les valeurs absolues, on a affaire à une bonne vieille série de Riemann.

Kaiser

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(1) 20-04-07 à 23:59

ah ouiii! bouhh je l'avais mis de coté celui la!
et bien je me doute que le suivant est faux alors.

1/(k^a) converge ssi a>1 ça vient donc de Riemann.

ça mes emble correct aprés mais bon entre ce qui me semble et ce qui est y'a de la marge!

Posté par
kaiser Moderateurre : séries de fonctions et convergence(1) 21-04-07 à 00:07

Citation :
et bien je me doute que le suivant est faux alors.


non, le 1)c) est correct !

Par contre, pour la 1)d), je crois que tu t'es emmêlé les pinceaux : le reste est en valeurs absolue majorée par \Large{\frac{1}{(N+1)^{x}}}.

De plus, pour la convergence uniforme, le reste doit être majoré par une suite indépendant de x et tendant vers 0 (ça ne doit pas forcément être le terme général d'une série convergente).
De plus, il faut aussi faire l'autre sens (montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme sur \Large{]0,+\infty[}).

Kaiser

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(1) 21-04-07 à 00:11

ok pour la majoration,encore une petite erreur idiote

pour ]0,+oo[ y'a discontinuité non,pour x=0 on a u_k(x)=(-1)^k tantot c'est 1 tantot c'est -1...

sinon on peut pas rasionner par equivalence?

Posté par
kaiser Moderateurre : séries de fonctions et convergence(1) 21-04-07 à 00:13

Ici, il n'y pas de discontinuité : la fonction n'est pas définie en 0.
Sinon, ça me semble difficile de raisonner directement par équivalence.

Kaiser

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(1) 21-04-07 à 00:18

déja que pour montrer qu'elle existe je galere alors pour montrer qu'elle existe pas la CVU!!!

est-ce que ]0,+oo[ inclus dans [0,+oo[ et est-ce que u_k(0)=(-1)^k ??

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(1) 21-04-07 à 00:19

non j'ai rien dit oublie!

Posté par
kaiser Moderateurre : séries de fonctions et convergence(1) 21-04-07 à 00:29

dans ce cas oublie aussi ce que j'ai dit : comme on veut la convergence sur l'intervalle fermé, alors il doit y avoir convergence simple au point a.
Du coup, il n'y a plus rien à faire.

Kaiser

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(1) 21-04-07 à 00:35

ok d'accord
Merci Kaiser!! je repasse dés demain aprés midi continuer avec mes séries de fonctions car comme tu l'a vu c'est pas ça du tout!
Encore merci de ton aide et bonne fin de soirée!

Posté par
kaiser Moderateurre : séries de fonctions et convergence(1) 21-04-07 à 00:42

OK, à plus tard !
Bonne nuit !

Posté par
robby3re : séries de fonctions et convergence(1) 21-04-07 à 00:48

Merci bonne nuit toi aussi!


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