Bonsoir à tous et merci de votre attention ,

je bloque actuellement sur les réponses d'un exercice sur les séries de fonctions

voici l'énoncé :

on fixe        >0

Soit
et f(x)=

Donc on m'a demandé le domaine de définition : pas de problème : ]0,+oo[

On m'a demandé de justifier la continuité de f(x) : méthode classique : continuité de , CVU de
sur [a,+oo[ avec a>0

et la dernière question est la suivante : étudier lim f(x) quand x -> +oo


donc je me dis : je vais appliquer le théorème inversion-limite somme car tout est réuni : CVU sur [a,+oo[ , continuité de et continuité de la série sur le même intervalle.

Alors j'inverse je passe de lim
à
(limite quand x->+oo)

ce qui fait à l'intérieur lim
donc lim


donc = 0 donc donc = 0

ce qui voudrait dire que la limite de f(x)=0 ce qui est incohérent déjà car quand n=0 , cela fait déjà 1 et tous les autres nombres tendent vers 0 positivement. J'ai bien vu que la limite de f(x) est 1 , cependant , je n'arrive pas à comprendre pourquoi l'inversion n'a pas donné la bonne limite , on pourrait dire : les conditions du théorèmes n'ont pas été respectées mais si je pense bien. Donc je ne vois pas mon erreur.
Pourriez vous m'éclairer s'il vous plaît. Merci d'avance !!

Bon courage à tous !