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Séries de fonctions - règle de d’Alembrrt

Posté par
Kalman 12-12-24 à 13:25

Bonjour tout le monde,

Soit t >0
Je cherche à étudier suivant les valeurs de bêta de la convergence simple de la série de fonctions u_n(t) = n t^{n \beta} e^{-tn}

J'écris la règle de d'alembert et je montre que si 0<\beta < e alors la convergence a lieu pour tout t > 0

Néanmoins comment étudier le cas \beta = e ?

Posté par
carpediemre : Séries de fonctions - règle de d’Alembrrt 12-12-24 à 16:02

salut

il me semble que u_n(t) = n \left( \dfrac {t^b}{e^{-t}} \right)^n = n [e^{t + b \ln t}]^n

Posté par
Kalmanre : Séries de fonctions - règle de d’Alembrrt 12-12-24 à 20:15

Oui j'avais écrit ça

Posté par
carpediemre : Séries de fonctions - règle de d’Alembrrt 12-12-24 à 21:11

pardon de grosses erreurs !!

u_n(t) = n \left( \dfrac {t^b}{e^t} \right)^n = n [e^{-t + b \ln t}]^n

et comment trouves-tu cet encadrement de b ?

car si b <= 0 il y a encore moins de problème ...

Posté par
verdurinre : Séries de fonctions - règle de d’Alembrrt 12-12-24 à 22:29

Bonsoir,

on a \frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}{n}\,t^\beta\text{e}^{-t}.

Donc \lim_{n\to \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=t^\beta\text{e}^{-t}.
La règle de d'Alembert permet de conclure pour les valeurs de t telles que t^\beta\text{e}^{-t}<1.

Posté par
verdurinre : Séries de fonctions - règle de d’Alembrrt 12-12-24 à 22:32

Oubli :
et pour les valeurs de t telles que t^\beta\text{e}^{-t}>1.

Posté par
verdurinre : Séries de fonctions - règle de d’Alembrrt 12-12-24 à 22:57

Et la règle de Raabe-Duhamel permet de conclure quand t^\beta\text{e}^{-t}=1.


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