Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Accueil l'île des mathématiques Forum de mathématiquesListe de tous les forums de mathématiques SupérieurOn parle exclusivement de maths, pour le supérieur principalement, les BTS, IUT, prépas... Autre AnalyseTopics traitant de analyse [tout]Lister tous les topics de mathématiques
Niveau autre
Partager :

Séries de Fourier

Posté par lechoriste (invité) 09-03-07 à 16:01

Bonjour à tous, voila je bloque un peu sur un exercice!
on a f: continue, 2 periodique et pour tout n de , on note le nieme coefficient de Fourier:
c_n=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-inx} dx.
on a de même fk::
f_k(x)=\Bigsum_{s=-k}^k~c_se^{isx}

1)Je dois montrer que :
f_k(x)=\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t) g_k(t) dt et je dois trouver gk.

2)Soit N>0 un entier.
On définit alors : F_N(x)=\frac{1}{N}\Bigsum_{k=0}^{N-1}~f_k(x)
Je dois montrer que
F_N(x)=\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t) h_N(t) dt et je dois trouver hN


Pour l'instant j'ai fait :
1)f_k(x)=\Bigsum_{s=-k}^k~c_se^{isx}=\frac{1}{2 \pi}\Bigsum_{s=-k}^k~[\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-isx} dxe^{isx}]
mais voila après je ne sais pas trop comment me débrouiller avec ca, je pense qu'on va avoir une somme d'exponentielles, qui va me donner mon gk, mais je n'arrive pas à la faire apparaitre!
Voila si vous avez des pistes je suis preneur!
Merci à tous

Posté par
ottore : Séries de Fourier 09-03-07 à 16:08

Bonjour,
pour la 1, je pense qu'il serait judicieux de considérer g comme un polynôme exponentiel.

Si tu essaies simplement les cas k=1,2,3 par exemple, tu vas voir comme ca se comporte.

Une autre manière de voir le problème:
Comment se comportent les coefficients de Fourier de f(x-t) par rapport à ceux de f(x) ?

Tu es sur la bonne voie.
a+

Posté par
ottore : Séries de Fourier 09-03-07 à 16:09

Pour la 2, c'est facile une fois que tu as la 1, puisque le produit de convolution est bilinéaire, en ce sens que (f,g)->f*g est bilinéaire (et même symétrique).

Posté par lechoriste (invité)re : Séries de Fourier 09-03-07 à 16:26

Salut Otto et merci de m'aider!
j'ai une autre idée pour m'en sortir sinon:
J'ai donc:
f_k(x)=\Bigsum_{s=-k}^k~c_se^{isx}=\frac{1}{2 \pi}\Bigsum_{s=-k}^k~[\int_{-\pi}^{\pi} f(x) e^{-isx} dxe^{isx}]
f_k(x)=\frac{1}{2 \pi}\Bigsum_{s=-k}^k~[\int_{-\pi}^{\pi} f(u) e^{-isu} du e^{isx}]
f_k(x)=\frac{1}{2 \pi}\Bigsum_{s=-k}^k~\int_{-\pi}^{\pi} f(u) e^{-is(u-x)} du

Je fais le changement de variable t=x-u donc j'ai:
f_k(x)=\frac{1}{2 \pi}\Bigsum_{s=-k}^k~\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t) e^{ist} dt
Donc les deux signes négatifs disparaissent par le du donne un -dt mais les bornes de l'intégrale avaient changé donc en changeant le sens ca me redonne un signe positif.

Donc:
f_k(x)=\frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x-t) \Bigsum_{s=-k}^k~e^{ist} dt

Ca me fait apparaitre ma somme:
\Bigsum_{s=-k}^k~e^{ist}.
donc t\2,
\Bigsum_{s=-k}^k~e^{ist}=e^{-ikt}. \frac{1-e^{i(2k+1)t}}{1-e^{it}}=\frac{sin(k+\frac{1}{2})t}{sin(\frac{t}{2})}

et pour t=2n,
\Bigsum_{s=-k}^k~e^{is2n \pi}=2k+1

Ca va ca?

Posté par lechoriste (invité)re : Séries de Fourier 09-03-07 à 18:00

Posté par
ottore : Séries de Fourier 09-03-07 à 18:52

Sans trop regarder l'exercice, je pense que tu as raison, puisque tu trouves le noyau de Dirichlet et c'est ce que tu dois trouver.
Pour le second, tu dois trouver le noyau de Fejér, qui est la moyenne de Césaro du noyau de Dirichlet:
\sum_{j=-n}^{n} (1-\frac{|j|}{n+1}) e^{ijt}
Sauf erreur.

Posté par
ottore : Séries de Fourier 09-03-07 à 19:53

Qui sauf erreur est égal à
\frac{1}{n+1} \frac{sin((n+1)t/2)^2}{sin(t/2)^2}

Posté par lechoriste (invité)re : Séries de Fourier 10-03-07 à 13:50

Bonjour!
donc la j'en suis à calculer ma somme mais je bloque un peu.
En fait j'ai trouvé que ca revient à calculer la somme :
h_N(t)=\frac{1}{N} \bigsum_{k=0}^{N-1} \frac{sin[(k+\frac{1}{2})t]}{sin(\frac{t}{2})}

h_N(t)=\frac{1}{Nsin(\frac{t}{2})} \bigsum_{k=0}^{N-1} sin[(k+\frac{1}{2})t]

Donc après j'ai pensé passer en exponentiel et ca revient à calculer 2 sommes mais je ne retombe pas sur le résultat indiqué ci dessus

Posté par
ottore : Séries de Fourier 10-03-07 à 14:31

Tu devrais rester en exponentielles, c'est beaucoup plus simple.
Sinon il y'a toujours la récurrence, mais ce n'est vraiment pas trèes "sexy".
a+

Posté par lechoriste (invité)re : Séries de Fourier 10-03-07 à 14:43

ok je vais essayer de faire mon calcul,
mais faut-il que je dise que le sinus c'est la partie imaginaire de l'exponentielle ou est-ce-que je dois passer par la formule d'Euler sur le sinus?
Ne serait-il pas plus simple de dire aussi que :
\bigsum_{k=0}^{N-1} sin[(k+\frac{1}{2})t]=\bigsum_{k'=1}^N sin[(k'-\frac{1}{2})t]?

Posté par
ottore : Séries de Fourier 10-03-07 à 14:48

Tu devrais tout simplement reprendre la première forme:
D_n(t)=\sum_{-n}^n e^{ikt}
Et
F_n(t)=1/N \sum_{-n}^n D_k(t)

Sinon, si tu utilises la formule d'Euler, tu peux remarquer que

sin(t/2)=(exp(it/2)-exp(-it/2))/2i
sin((n+1)t/2)=(exp(i(n+1)t/2)-exp(-i(n+1)t/2))/2i

et développer le produit
sin(t/2)^2 F_n
et voir que tu tombes effectivement sur
sin((n+1)/2t)^2 /(n+1)

Je pense que c'est la méthode la plus simple vue que lors du développement, tu vas avoir une somme téléscopique (i.e. beaucoup de termes successifs (presque tous?) vont s'éliminer)

a+

Posté par lechoriste (invité)re : Séries de Fourier 10-03-07 à 15:15

merci de m'aider otto!
en fait j'aimerai suivre mon exercice et apparement je dois le calculer comme j'essaye de le faire, sans passer par la forme que tu me dis (la première).
Donc j'essaye avec la formule d'Euler.
Donc en fait pour le moment j'ai réussi à réduite différentes choses et j'ai :
\frac{1}{N} \bigsum_{k=0}^{N-1} (\frac{e^{ikt}}{1-e^{-it}}+\frac{e^{-ikt}}{1-e^{it}})
j'ai rentré le sin(t/2) dans la somme pour simplifier quelques trucs, c'est sur la bonne voie?

Posté par lechoriste (invité)re : Séries de Fourier 10-03-07 à 15:21

ah c'est bon j'ai réussi en passant plutot par la partie imaginaire!!
Je trouve:

h_N(t)=\frac{sin(Nt/2)^2}{Nsin(t/2)^2}

Posté par lechoriste (invité)re : Séries de Fourier 10-03-07 à 15:52

j'ai encore quelques questions pour finir mon exercice ^^.
On me donne la fonction:
L_N(t)=\frac{sin^2(Nt/2)}{2 \pi Nsin^2(t/2)}

On me dit de vérifier que :
\int_{-\pi}^{\pi} L_N(t)dt=1
Je dois montrer aussi que pour tout >0, l'intégrale \int_{\epsilon}^{\pi} L_N(t)dt=1 tend vers 0 quand N tend vers l'infini et je dois en déduire que ma fonction FN (définie au début) tend vers f uniformément quand N tend vers l'infini.

Donc voila deja je bloque un peu pour l'intégrale.
J'ai vu que dans mon cours on a commencé un bout sur le théorème de Parseval, c'est pas ca que je dois utiliser ici car je m'en sors pas trop à le calculer sinon, j'ai linéariser le sin² en faisant apparaitre des cos mais je n'arrive pas à intégrer après donc je ne pense pas qu'on doit passer par la!

Posté par
ottore : Séries de Fourier 10-03-07 à 17:08

Pour calculer l'intégrale, revient à la forme de départ (celle sur les moyennes de Cesaro) c'est ce qu'il y'a de plus simple.

Posté par lechoriste (invité)re : Séries de Fourier 11-03-07 à 17:18

Bonjour,
c'est bon j'ai réussi à montrer que l'intégrale fait bien 1 par contre je n'arrive pas à montrer que \int_ \epsilon^{\pi} L_N(t) dt tend vers 0 quand N tend vers l'infini.
Je suis parti de :
\int_ {- \pi}^{\pi} L_N(t) dt=2\int_ 0^{\pi} L_N(t) dt=1.
Donc:
\int_ 0^{\pi} L_N(t) dt=1/2=\int_ 0^{\epsilon} L_N(t) dt + \int_ \epsilon^{\pi} L_N(t) dt
D'ou:
\int_ \epsilon^{\pi} L_N(t) dt=1/2-\int_ 0^{\epsilon} L_N(t) dt

Mais voila après je ne sais pas trop ou aller, si je dois faire une majoration quelconque ou quelque chose comme ca!

Posté par lechoriste (invité)re : Séries de Fourier 11-03-07 à 18:39

Est-ce-que je peux repartir de :
L_N(t)=\frac{sin^2(Nt/2)}{2 \pi N sin^2(t/2)}

Je majore les deux sinus par 1, donc je majore le tout :

L_N(t) \le \frac{1}{2 \pi N}
Donc:
\int_ \epsilon^{\pi} L_N(t) dt \le 1/2 - \int_ 0^{\epsilon} \frac{1}{2 \pi N} dt
\int_ \epsilon^{\pi} L_N(t) dt \le 1/2 - \frac{\epsilon}{2 \pi N}

Mais bon ca tend pas vers 0 donc apparement je ne dois pas passer par la, peut être ma majoration est trop brutale?

Posté par lechoriste (invité)re : Séries de Fourier 11-03-07 à 18:40

ah non je viens de voir tout seul que ca marchait pas ^^, j'ai un quotient...
Je cherche un autre moyen!

Posté par
ottore : Séries de Fourier 11-03-07 à 20:20

Salut,
tes noyaux ont une belle propriété. Non seulement l'intégrale sur epsilon<|t|<pi converge vers 0, mais c'est également le cas du sup.
Peut etre devrais tu regarder plutôt de ce coté la.
Notamment,
F_n < min (n+1,qqchose)
Je ne me souviens plus de ce que vaut le "qqchose" de façon très précise, mais c'est facile à voir sur un dessin.
Tu peux utiliser le fait que sin(x)<x et ca vient tout seul.

Posté par lechoriste (invité)re : Séries de Fourier 11-03-07 à 20:45

Salut otto,
j'essaye de passer comme tu me l'indiques mais à chaque fois je ne retombe pas sur 0, j'arrive pas à montrer que cette intégrale sur epsilon<|t|<pi converge vers 0.
En fait je continue toujours dans la voie:
\int_ \epsilon^{\pi} L_n(t) dt \le 1/2-\int_ 0^{\epsilon} L_n(t) dt
J'ai écris aussi que :
\int_ 0^{\epsilon} L_n(t) dt=\frac{1}{2 \pi}\int_ 0^{\epsilon} \frac{sin^2(Nt/2)}{Nsin^2(t/2)}dt

=\frac{1}{2 \pi}\int_ 0^{\epsilon} \frac{1}{N} \bigsum_{k=0}^{N-1} \frac{sin[(k+1/2)t]}{sin(t/2)}dt

Et c'est à partir d'ici que je dois faire ma majoration en utilisant sinx<x?

Posté par
ottore : Séries de Fourier 11-03-07 à 20:48

Non.
Mais sinon, tu peux revenir à la propriété suivante:
F_n=\sum_{-n}^n (1+\frac{|j|}{n+1}) exp(ijt)

C'est très facile de trouver une primitive de ce truc, et tu pourrais conclure très facilement.
a+

Posté par
ottore : Séries de Fourier 11-03-07 à 20:48

Pardon c'est 1- et non 1+

Posté par lechoriste (invité)re : Séries de Fourier 11-03-07 à 20:53

oui mais le problème c'est que je ne suis pas passé par la pour faire les autres calculs :s.
J'ai bien suivi ce que tu m'avais dit! et je te remercie j'ai réussi à faire toutes mes questions avant mais juste je ne suis jamais passé par cette somme, donc est-ce-que je dois la démontrer maintenant?

Posté par
ottore : Séries de Fourier 11-03-07 à 20:56

Non tu n'es pas obligé, mais c'est franchement ce qu'il y'a de plus simple et je n'ai pas tellement envie de me casser la tête à trouver une 3e méthode
La seconde méthode est celle qui consistait en trouver un majorant de Fn en fonction de n.

Posté par lechoriste (invité)re : Séries de Fourier 11-03-07 à 20:59

ok ok ^^ je vais me pencher deja sur la méthode qui consiste à trouver le majorant, et j'essaierai par la suite l'autre méthode avec la somme!


Rechercher
Menu
Espace membre
Changer d'île

Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :

Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1677 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !