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Séries de Fourier

Posté par
romu 24-04-08 à 14:11

Bonjour,

j'ai quelques soucis avec cet exo:

Citation :
Soit E=\mathcal{C}([0,2\pi],\mathbb{R}) le \mathbb{R}-espace vectoriel des fonctions continues réelles définies sur [0,2\pi], muni de la norme ||.|| de la convergence en moyenne quadratique.

On cherche à déterminer le complété E^{\wedge} pour le \mathbb{R}-espace préhilbertien (E,||.||).

Pour f\in E on définit:

a_n(f)=a_n=\frac{1}{\pi}\bigint_0^{2\pi} f(t)\cos(nt)dt,\qquad \qquad b_n(f)=b_n=\frac{1}{\pi}\bigint_0^{2\pi} f(t)\sin(nt)dt.

On définit la suite des coefficients de Fourier de f\in E par

\alpha_0(f)=\frac{a_0}{2},\qquad \alpha_{2k-1}(f)=a_k,\qquad \alpha_{2k}(f)=b_k.

a) En utilisant l'égalité de Parseval, vérifier que (\alpha_N(f))_N\in l^2_{\mathbb{R}}(\mathbb{N}).

Soit i:E\rightarrow l^2_{\mathbb{R}}(\mathbb{N}) définie par i(f)=(\sqrt{2\pi} \alpha_N(f))_N.

b) Vérifier que i est une isométrie de E sur un sous-espace dense de i(E) de l^2_{\mathbb{R}}(\mathbb{N})

c) Conclure que i:E\rightarrow l^2_{\mathbb{R}}(\mathbb{N}) induit une isométrie i^{\wedge}:E^{\wedge}\rightarrow l^2_{\mathbb{R}}(\mathbb{N}).


Pour la a) c'est ok, pour la b) je n'arrive pas à montrer que i(E) est dense dans l^2_{\mathbb{R}}(\mathbb{N}).
Pour le montrer on a comme indication que les suites nulles à partir d'un certain rang sont denses dans l^2_{\mathbb{R}}(\mathbb{N}),
ce qui me pose problème c'est de montrer que ces suites nulles apcr sont dans i(E).

Merci pour votre aide

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Séries de Fourier 24-04-08 à 14:56

Bonjour ;

Une petite précision avant de répondre : comment est défini le produit scalaire de E ?

Posté par
romure : Séries de Fourier 24-04-08 à 15:00

Bonjour Ehlor,

le produit scalaire est l'application: 3$(f,g)\rightarrow \Bigint_0^{2\pi} f(t)\overline{g(t)} dt=\Bigint_0^{2\pi} f(t)g(t) dt, non?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Séries de Fourier 24-04-08 à 15:12

Bonjour,

tes notations ne sont pas très claires romu, il y a différentes suites portant le même nom a_n?

Sinon tu peux utiliser que la fonction cos(nt) a un produit scalaire nul contre tout élément de la famille (cos(mt)), sauf lorsque m=n.

i(E) contient donc la suite \delta_n pour tout n, donc les suites nulles à partir d'un certain rang, ce qui entraîne bien que i(E) est dense dans l^2(\bb{R}).

Posté par
Tigweg Correcteurre : Séries de Fourier 24-04-08 à 15:13

J'ai appelé \delta_n la suite dont le n-ème terme vaut 1, et dont tous les autres termes sont nuls.

Bonjour elhor!

Posté par
romure : Séries de Fourier 24-04-08 à 15:25

ah oui désolé pour la seconde suite c'est alpha en fait (mais a et alpha se ressemblent beaucoup ).

Merci en tout cas c'est beaucoup plus clair, je vais rédiger ça.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Séries de Fourier 24-04-08 à 15:27

Pas de quoi!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Séries de Fourier 24-04-08 à 15:37

OK !

Si on note pour n\in\mathbb{N} , 4$\fbox{c_n:[0,2\pi]\to\mathbb{R}\\\;\;\;\;t\to cos(nt)} et pour n\in\mathbb{N}^* , 4$\fbox{s_n:[0,2\pi]\to\mathbb{R}\\\;\;\;\;t\to sin(nt)}

il est facile de vérifier que la famille 3$\fbox{\left((c_n)_{n\ge0},(s_n)_{n\ge1}\right)} est libre et orthogonale dans E.

Pour voir qu'une suite réelle (\beta_n)_{n\ge0} ( qui est nulle à partir d'un certain rang 2p+1 ) est dans i(E) ,
l'idée est de chercher un antécédent f de (\beta_n) dans 5$\fbox{Vect\left((c_n)_{0\le n\le p}\;,\;(s_n)_{1\le n\le p}\right)} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
romure : Séries de Fourier 25-04-08 à 00:38

ok, si j'ai bien compris par rapport à ce que tu as dit Ehlor, il suffit que je prenne

3$\fbox{f=\beta_0+\Bigsum_{k=1}^p \(\beta_{2k-1}\cos(kt)+\beta_{2k}\sin(kt)\)}


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