Salut !


pour montrer que la seri converge simplement tu peut utiliser la regle d'abel (si tu la connais ? ).




pour la 2) la norme infinie ne te donnera rien (il n'y a pas convergence normale ! ) il va donc effectivement falloir majorer le reste, mais j'avoue que je ne voit pas imediatement l'astuce, dans l'idee c'est "un peu" une serie alterné (mais avec une alternance sur plusieur terme... ) on peut donc peut-etre en utilisant une transformation d'abel donnez une majoration du reste en fonction du/des dernier terme....

Regle d'Abel: an*bn  avec an majorée et bn tend vers 0 et décroissante?

C'est pas idiot, Abel c'est le genre de truc qui ne me vient jamais à l'esprit.

Pour la question (3) il faut calculer les sommes: sur [ ,pi], puis sur ]0,pi, puis sur [-pi,pi]. En s'aidant de la convergence unifrme, on passe la limite d'abord en 0, et comme c'est le seul point qui gène, car S est impaire, alors on a également la convergence uniforme sur [-pi,-]...


Mais pareil, comment calculer cette somme. Aparemment ici on a le coefficient de Fourier bn...?

avec an=0, ce qui est logique si S est impaire.

je voulais dire si f est impaire.

Ah oui !


sinon il s'agit effectivement bien d'une serie fourier !

sauf erreur, tu peut déveloper la fonction x->cos(x/2) pour tous x dans ]0,Pi[ prolongé par Imparité et 2Pi-périodicité pour retrouver cette serie.

Regle d'Abel: oui, enfin la somme des an doit etre majoré, pas les an ^^

Le probleme c'est qu'on a pas eu de formulaire sur les series de Fourier. Comment trouver...

Et la somme sur n des sin(nx) est majorée?

Et la somme sur n des sin(nx) est majorée? >>> oui, c'est un calcule tres classique : tu peut calculer les sommes partielle des sin(nx) explicitement en passant par la somme des exp(i*n*x) qui est une somme géometrique, et en prenant la parti imaginaire apres, tu tombe sur quelque chose de borné à la fin normalement !



Le probleme c'est qu'on a pas eu de formulaire sur les series de Fourier. Comment trouver...>>>> tu connais quand meme l'expression des coeficients de fouriers avec les integrales non ??

Oui, mais en partant de f(x) je sais retrouver a0, an, bn. Mais dans l'autre sens, j'ai jamais fait.

ah ok !


ba dans l'autre sens il y a pas de methode géneral :S

mais en gros il y a que deux type de fonction dont on connait les coeficient de fourier : les exponentielle (exp, sin, cos, cosh, et sinh) et les polynome (constante comprise) et apres on fait des regroupement de ces fonction sur differents segement...

bref en ayant une vague idée de a quoi ressemble les coeficient du dévelopement de exp(a*x) (avec a eventuellement complexe) on reconnait assez vite les fonction qui vont etre de ce type... et apres on cherche l'integral qui donne cette valeur...

c'est ce que j'ai fait : on cherchait une fonction Impaire 2 Pi périodique, donc j'ai calculé l'integral de exp(a*x)*sin(nx) entre 0 et Pi, j'ai vu qu'il fallait prendre a imaginaire pur pour que sa marche, plus precisement a=i/2, et j'ai remarqué qu'en prenant la parti réel on tombait exactement sur ton coeficiant...

donc sauf erreur de ma part j'ai trouvé que : n/(n²-1/4) = integral de sin(nx)*cos(x/2) entre 0 et Pi

donc il faut déveloper la fonction definit par f(x)=cos(x/2) sur [0,Pi], qu'on prolonge par Imparité (donc la fonction sera pas continu en 0 ! ) et par 2Pi périodicité et sa marche !!

En tout cas, merci Ksilver, je vais essayer de verifier en partant de cos(x/2)...

Ca me rassure un peu, je n'aurais pas pu trouver cette solution avant la fin de l'examen. J'ai (il me semble) bien fait de passer rapidement au suivant.

Merci encore, bonne soirée.