Bonjour,
Voici l'énoncé du problème. Soit (an) ,n appartenant à N, décroissante
vers 0.
1) Montrer que les séries “somme” (a(n)) (“a”indice n) et “somme”
(2^n).a(2^n) (“a”indice 2^n) sont de même nature.
2)En déduire les valeurs de “p” pour lesquelles “somme”(1/n^p) converge.
(n>0)
(Ici, je me suis apperçu que le résultat était une série de Riemann donc
que “p” doit être strictement plus grand que 1)
Pour la première question, je pense à plusieurs points vus en ce début
de cours, mais je n'aboutis pas. Pouvez vous me donner quelques conseils
¿
Merci beaucoup
A+
Benoît
Ben,tu utilises la décroissance de la suite a_n et tu sommes par
paquets de 2^n termes..
Déjà (a_n) décroissante ver s0 veut dire que la suite est positive.
D'autre part,tu écris
2^n*a_2^na_(2^(n-1)+1)+.....+a_2^n <= 2^n*a_2^(n-1)
<= 2*(2^(n-1)*a_2^(n-1))
tu devrais pouvoir conculre avec ça.
Ensuite,a_n=1/n^p
(a_n) est bien décroissante vers 0 et
2^n*a_2^n=2^n /(2^n*p)=2^n(1-p)=(2^(1-p))^n
et on retrouve une série géométrique qui converge ssi sa rasion est
plus petite que 1
c'est à dire 2^(1-p)<1 ==>p>1
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