Bonsoir à tous,
voila je suis en train de refaire mes TD et il y a quelque chose qui me choque.
J'ai la série entière :2ⁿz²ⁿ⁺¹.
Je dois trouver le rayon de convergence...
Le prof nous a dit qu'on avait une série lacunaire (ok car au lieu d'un zⁿ on a un z puissance quelque chose).
Mon prof dit que:
2ⁿz²ⁿ⁺¹=a_2n+1z²ⁿ⁺¹.
Après il considère la série numérique a_2n+1|z|²ⁿ⁺¹ et il cherche pour quelles valeurs de de |z| ca converge.
Il pose u_n=2ⁿ|z|²ⁿ⁺¹.
Ca donne :
.
Après il dit que la série numérique u_n converge si 2|z|²<1 (je vois pas trop d'ou ca sort ca) donc si |z|<.
Donc il trouve R=

De mon côté j'ai refait l'exo à l'aide de mon cours, dans lequel il y a un théorème sur les séries lacunaires, de la forme a_nz⁽ⁿ⁾.
Je suis mon cours, donc je dois étudier la limite quand n tend vers l'infini de (n)/n.
Dans mon exemple, j'ai (n)=2n+1.
Donc lim (n)/n=2.
Après mon cours me dit que si la limite de (n)/n est a (a différent de 0 et ), alors si le rayon de convergence de a_nzⁿ est R, le rayon de convergence de a_nz⁽ⁿ⁾ est .
Donc je cherche R, le rayon de convergence de 2ⁿzⁿ.
J'ai la limite de .
Donc R=1/2.
Donc finalement je trouve que le rayon de convergence de 2ⁿz²ⁿ⁺¹ est .
Je retrouve le même résultat.

Ma question est : est-ce-que ma méthode est correcte car je comprends pas la condition dans la correction de mon prof 2|z|²<1, je vois pas trop pourquoi il dit ca.
De plus, j'ai vu dans mon cours pour la limite de (n)/n les cas ou cette limite vaut a, puis . Mais si cette limite est nulle, que se passe-t-il? Comment puis-je faire un exercice de ce type dans le cas ou la limite est nulle?
Dernier point : une série est lacunaire ssi on a z⁽ⁿ⁾ avec (n)n, c'est bien ca?

Voila merci de m'éclairer sur ces points
Bonne soirée