Merci

Salut,

il faut montrer la convergence sur le disque fermé donc prendre z tel que |z|=1 et regarder ce qui  se passe mais c'est évident car il y a alors convergence absolue vu que le 1/n^3 fait tout converger.

Donc en fait il vaut mieux étudier avec non ?

Bonjour fusionfroide.

Le critère de d'Alembert assure la convergence dans D(0,1[
Il faut que tu regardes ce qu'il advient sur le cercle d'incertitude.
Mais ici, c'est simple car pour |z| = 1, la majoration par 1/n³ assure aussi la convergence.

A plus RR.

d'accord j'ai compris !

Merci à vous deux !

De rien,salut raymond

Bonjour Cauchy.

A plus RR.

Re,

j'ai montré que avec et

On me demande d'en déduire que z=1 est un point singulier.

Donc pour , on a : mais ça sert à quoi ??

Merci

Un point singulier pour phi j'imagine.
C'est trivialement un point singulier pour psi. Si c'était un point régulier pour phi, ca en serait un pour psi.

salut fusionfroide

je ne comprends pas tes notations : le ' indique une dérivée ?

Oui tealc c'est bien ça !

D'accord otto !

j'ai une dernière question :

Je déterminer les valeurs de a pour lesquelles l'intégrale , est bien définie.

Bon j'ai essayé en posant mais ça ne mène à rien je pense.

Auriez-vous juste un indice, une piste pour démarrer.

Merci

cherche à résoudre z²+z+a = e^{it} avec t réel  pour voir quand ca peut exister ^^

Pourquoi égal à exp{it} ?

Parce que tu ne veux pas que ton contour contienne un point singulier pour ton intégrande. (cf cours)

On vient juste de commencer les points singuliers

Mais je ne vois toujours pas d'où vient le exp{it} !

exp(it) parce que ton contour est le cercle unité
Un point est sur le cercle unité si et seulement s'il s'écrit e^(it) pour un certain t réel.

D'accord merci

Je trouve comme condition a<0

est-ce correct ?

?

Bonjour.

On se demande si z² + z + a = 0
L'équation étant à coefficients réels, les racines z' et z" sont complexes conjuguées.
Le produit z'z" vaut donc a et aussi |z'|².
Si l'on veut que le dénomonateur soit non nul sur le cercle, il faut donc a difféent de 1.

A plus RR.

Merci Raymond

je me demande s'il est possible de calculer cette intégrale ?

Si on veut la calculer, quelle est la meilleure méthode ? Poser z=exp{it} puis passer au cosinus et au sinus ?

Merci

On peut peut-être tansformer l'intégrande pour pouvoir utiliser la formule de cauchy ?

A part la formule de cauchy, je vois pas trop comment tu pourrais faire ...

Pour éviter la formule de Cauchy, on peut surement faire un développement en fractions partielles et on paramétrises la courbe sur laquelle on intègre.

Bah comment veux-tu faire tealc avec la formule de Cauchy ?

Je n'arrive pas à tranformer l'intégrale...

Peut-être localiser les pôles pour voir s'ils sont à l'intérieur ou à l'extérieur du disque, décomposer en éléments simples et enfin appliquer le th. des résidus.

A plus RR.

Dans ce cas je vais attendre un peu car je n'ai pas encore vu les résidus

Rebonsoir.

Tout à l'heure, je n'ai traité qu'une partie des cas possibles. Je reprends donc à la base.
Pour que cette intégrale ait un sens, il faut que z² + z + a ne s'annule pas sur le cercle de centre O de rayon 1, que je nommerai (C).

I - Résolution z² + z + a = 0
= 1 - 4a.

1°) si a < 1/4, deux racines réelles distinctes.
z² + z + a s'annule sur le cercle ssi z = 1 ou z = -1.
¤ z = 1 => a = -2
¤ z = -1 => a = 0

2°) si a > 1/4, deux racines complexes conjuguées z' et z". Leur produit vaut a, mais aussi |z'|² et |z"|².
Si l'on veut que z' (donc z" aussi) soit sur (C), il faut et suffit que a = 1.

Conclusion : l'intégrale existe ssi a distinct de -2 , 0 , 1 (et de 1/4 par hypothèse)
On suppose cette condition réalisée dans la suite.

II - Etude de l'intégrale

Comme a distinct de 1/4 les racines sont donc distinctes. On a alors :



1°) a > 1/4

Les racines sont complexes conjuguées. Comme le module (commun) aux deux racines est : a, nous allons considérer la position de ces racines par rapport à (C).
¤ 1/4 < a < 1. z' et z" intérieures à (C). Il faut faire appel à l'indice.
L'intégrale vaut I = 2i.A' + 2i.A" = 2i(A' + A") = 0
¤ a > 1. z' et z" sont extérieures à (C), donc I = 0.

2°) a < 1/4.

Si les racines (réelles) z' et z" sont toutes deux simultanément à l'intérieur ou à l'extérieur de (C), le raisonnement de 1°) s'applique et I = 0.
Cherchons comment elles se positionnent par rapport à -1 et +1.
Calculons les valeur de P(z) = z² + z + a en -1 et en +1 : P(-1) = a et P(1) = 2 + a. Selon les signes de ces deux résultats on en déduit que :
a) a < -2 => z' < -1 < 1 < z"
b) -2 < a < 0 => z' < -1 < z" < 1
c) 0 < a < 1/4 => -1 < z' < z" < 1

Dans les cas a) et c), I = 0
Reste le cas b) : I = 2iA" =

Conclusion : si -2 < a < 0, alors : I = , sinon, I = 0

J'espère avoir vu juste.

A plus RR.

Tout d'abord merci raymond !

bien que je débute dans ce domaine, je pense avoir saisi l'essentiel.

Cependant, lorsuqe tu dis :

SI z' et z'' sont extèrieurs aux domaines, la fonction est holomorphe sur le domaine, et on sait que l'intégrale d'une fonction holomorphe sur un cycle est nulle

merci tealc

Tiens ya truc qui me bloque dans cette intégrale



Je pose mais il y a un problème pour les bornes non ?

Merco

Euh oui tu peux pas poser tan(x/2) comme ca puisque la tan n'est pas définit en kpi/2

Nan pose  t=cos x

Sinon, une bonne méthode serait de poser cos(x)=1/2(z+1/z) et de calculer une intégrale de contour, et avec quelques tours de passe passe, on arrivera au résultat.
a+

Merci