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Séries entières
Bonjour à tous,
Quelqu'un pourrait-il m'aider à résoudre l'exercice suivant qui me pose quelques petits problèmes:
Soit (an)nЄN la suite définie par a0=1 et pour tout n ≥ 1,
(1) an+1 = ∑ ap.aq (la somme des p+q=n)
= ∑ ap.an-p (la somme allant de p=0 à n)
On veut montrer que pour tout n≥1, an = (4^n/n+1)C(2n en bas et n en haut)
Posons f(z)= ∑ an.z^n (la somme des n≥0)
a) Grâce à la relation (1), montrer que
xf(x)²-f(x)+1 = 0
b) En déduire que f(x) = (1-√(1-4x))/2x
c) Trouver le développement en série entière de f et son rayon de convergence.
d) Conclure
Merci d'avance à tous ceux qui pourront me venir en aide.
Pour la question b) il faut juste remarquer que l'on a une équation du second degré et il suffit de calculer son déterminant (1-4x) puis voir qu'une seule des 2 racines est possibles et donc f(x)=(1-4x)/2x.
Pour la première question je ne vois vraiment pas.
Venez m'aider svp.
Bonjour, Ibiscus.
Si f(x) est la somme des a_nz^n, alors, f(x)^2 est la somme des b_nz^n, où b_n est la somme des a_pa_q, tels que p+q=n.
(cours sur le produit de Cauchy de deux séries entières)
Ah ok en utilisant le produit de Cauchy: f(x)² est égal à a_n+1.
Merci perroquet mais ce n'est qu'une partie de la question!
Peut-tu encore un peu me conseiller?
bonsoir,
perroquet n'a plus l'air d'être là
dans x(f(x))² il n'y a pas de terme constant et le terme en xn+1=x
(p+q=n)apxpaqxq=an+1xn+1
donc quelque soit n le terme en xn+1dans x(f(x))² est égal au terme en xn+1 de f(x)
on a donc x(f(x))²=f(x)-a0=f(x)-1
Il y a juste un point que je ne comprends pas:
si je lis bien tu dis que xn+1=an+1xn+1
Cela me semble bizarre non?
bonjour,
tu me lis mal:je dis que le terme en xn+1 dans x(f(x))² c'est à dire le monôme de degré n+1 (xn+1 accompagné de son coefficient)est égal à an+1xn+1
Ok en effet je n'avais pas compris! Tout est bien plus clair maintenant merci veleda et a bientot sur l'île.
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