Si tu prends avec transcendant, ça marche.

Salut annakin, et merci de ta réponse...

Mais je comprends pas :
- le développement en série entière de sin(x)-a n'est pas à coefficients dans Q (car a n'est pas rationnel s'il est transcendant)
- sin(x)-a n'est pas égal à zero pour tout a

J'avais oublié de préciser, mais on souhaite bien entendu que S ne soit pas identiquement nulle.

Pour pi effectivement la fonction sin(x) convient, car sin(pi)=0 et le développement de sin est à coefficients dnas Q.

Mais qu'en est-il pour e par exemple ?

1emeu

Trois choses: 1. J'ai mal tapé, c'était
              2. Je n'avais pas vu que les coeff étaient dans et tu as parfaitement raison.
              3. L'exemple de est quand même convaincant non?

En fait, il y en a plein d'autres puisque tout réel est limite d'une suite de rationnels.

Effectivement, si , on peut trouver une telle série entière.
Mais je ne saisis pas pourquoi ceci serait vrai pour tout réel... Je ne suis pas vraiment convaincu par l'exemple de pi qui me semble être un cas particulier.

Je ne vois pas non plus comment se servir de la densité de $\mathbf{Q}$ dans $\mathbf{R}$ pour pouvoir trouver d'autres nombres transcendants possédant la propriété en question. Peux-tu m'expliquer ?

merci,

1emeu

Non l'exemple de n'est pas un cas particulier.

Ce qu'il faut plutôt voir, c'est que nous avons des symboles spéciaux pour Le nombre et la fonction sinus et nous savons expliciter la suite . Mais tous ceci n'est qu' invention humaine.

Comme l'ensemble des transcendants a la puissance du continu et l'ensemble des fonction DSE le cardinal au dessus, ce n'est vraiment pas un cas particulier. CE qui est un cas particulier ce sont les notations.

Bonjour annakin47,

je trouve que pi est un nombre transcendant particulier dans le sens où il est aisément exprimable dans notre langage. On peut par exemple dire que c'est le périmètre d'un cercle. C'est quand même très particulier pour un nombre transcendant.

Je vois ça de la manière suivante : étant donné qu'un utilise un langage utilisant un nombre fini de symboles (les lettres les chiffres, et les expressions), quoique nous fassions, l'ensemble des nombres que l'on peut exprimer par une expression de longueur fini (du style "la longueur du périmètre d'un cercle") est dénombrable (car union dénombrable d'ensembles fini). Un nombre transcendant que l'on peut exprimer par une phrase ou par une expression mathématique est donc un cas très particulier (car l'ensemble de ces nombres transcendants est de mesure nulle dans l'ensemble des nombres transcendants). C'est dans ce sens que je trouve pi (ou e d'ailleurs) particulier.

D'autre part, il me semble que l'ensemble des fonctions développables en série entières au voisinage de 0 à coefficients dans n'a "que" la puissance du continu. En effet, il me semble qu'on peut l'injecter dans l'ensemble des suites à valeurs dans .

Le problème ne me semble donc pas si simple... mais très intéressant !!

oups, une coquille

quand je disais "(les lettres les chiffres, et les expressions)", il faut lire "(les lettres les chiffres, et les symboles mathématiques)"

Ok avec toi 1emeu. Evidemment a plein de propriétés qui lui sont propres mais dans ta question ce n'est que le fait d'être transcendant qui intervient. Donc ou un autre...

Après, petite précision: ta série entière, son ensemble de départ c'est quoi? Normalement une série entière c'est indéfiniment dérivable. Petit problème de définition là je crois.

A+

Je cherche une fonction définie sur tel que (rayon de convergence suffisamment grand pour être définie en ) développable en série entière :
et avec

Donc, elle ne peut pas être à valeurs dans comme ce que tu as dit. Donc on retombe sur le fait que et sont complets alors que ne l'est pas.

On pourra tjs construire des suites bn de rationnels tels que S(alpha)=0 avec alpha transcendant.

Bonsoir annakin,

quelque chose doit m'échapper... Peux-tu m'expliquer ?

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