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Séries numériques

Posté par edouardbbr (invité) 30-11-06 à 18:20

Bonjour à tous. Alors voila, je suis en train de faire les séries numériques, et je me penche sur mon premier exo ... J'aurai besoin d'un peu d'aide ...

Etudier la série de terme général :

an = 1 - ( tan(\frac{\pi}{4} + \frac{1}{n}) )-1

J'ai remarqué qu'il s'agissait d'une série à termes positifs pour n1 ... je pense donc qu'il suffit de montrer que la suite des sommes partielles est bornée ...

qu'en pensez vous ?  

merci !

Posté par
jeansebre : Séries numériques 30-11-06 à 18:48

Pour moi, ça diverge

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 30-11-06 à 18:49

lol d'accord mais comment le trouves-tu ?

Posté par
fusionfroidere : Séries numériques 30-11-06 à 19:03

Salut

Développement asymptotique ?

3$\rm 1-\frac{1}{tan(\frac{\pi}{4}+\frac{1}{n})}=\frac{2}{n}-\frac{2}{n^2}+o(\frac{1}{n^2})

Somme d'une série convergente et d'une série divergente => série diverge

Posté par
jeansebre : Séries numériques 30-11-06 à 19:05

tan (\pi/4 + 1/n) = \frac{tan (\pi/4) + tan 1/n}{1 - tan(\pi/4)tan1/n}=\frac{1+tan1/n}{1-tan1/n}

donc an = 1-\frac{1-tan1/n}{1+tan1/n}=\frac{2 tan1/n}{1+tan1/n}

le numérateur est équivalent à 1/n , le dénominateur à 2

donc an est equivalent à 2/n, terme général d'une série divergente.

Posté par
jeansebre : Séries numériques 30-11-06 à 19:06

Citation :
le numérateur est équivalent à 1/n , le dénominateur à 2


le numérateur est équivalent à 2/n , le dénominateur à 1

Posté par
fusionfroidere : Séries numériques 30-11-06 à 19:10

Salut jeanseb

Posté par
jeansebre : Séries numériques 30-11-06 à 19:16

Salut fusionfroide

Posté par
jeansebre : Séries numériques 30-11-06 à 19:18

Ta méthode est plus conceptuelle.La mienne un peu plus primitive (au sens littéraire du terme, bien entendu).

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 30-11-06 à 20:39

Merci infiniment !! je bloque également sur celle ci :

cn = 4$\int_n^{2n} \frac{dt}{t\sqrt{t}+1

encore merci pour votre aide

Posté par
jeansebre : Séries numériques 30-11-06 à 22:31

en gros, vers l'infini, tu peux éliminer le +1 au dénominateur tellement tt est grand

tu intègres la fonction équivalente obtenue (c'est une puissance de t)entre n et 2n, tu réduis au même dénominateur.

Moi, je trouve un terme général en 1/n , donc la série devrait diverger.

Sauf erreur.

Posté par
Cauchyre : Séries numériques 30-11-06 à 22:43

Bonjour,

meme idée que jeanseb,en fait tu peux juste minorer le terme general par 1/(rac(2n)+1).

Posté par
lafol Moderateurre : Séries numériques 01-12-06 à 13:24

Je ne sais pas si ça peut être utile (pas envie de faire les calculs pour voir où ça mène ...) mais elle se calcule, cette intégrale ...

Posté par
jeansebre : Séries numériques 01-12-06 à 13:31

Bonjour lafol

Une petite indication sur la méthode, peut-être?...

Posté par
lafol Moderateurre : Séries numériques 01-12-06 à 13:42

en posant t=x² ou x= t on se ramène à une fraction rationnelle en x, non ? on la décompose en éléments simples, et roulez jeunesse !

Posté par
lafol Moderateurre : Séries numériques 01-12-06 à 13:43

Mais comme j'ai la flemme de décomposer, je ne suis absolument pas sûre que ça avance à quoi que ce soit ...

Posté par
jeansebre : Séries numériques 01-12-06 à 13:50

Pas grave, c'est pour la culture générale...

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 15:58

quelqu'un pourrait me réexpliquer le raisonnement pour cette dernière série?  

Posté par
Cauchyre : Séries numériques 03-12-06 à 16:07

Tu peux par exemple dire que sur [n,2n] on a :

3$n\sqr{n}+1 \leq t\sqr{t}+1 \leq 2n\sqr{2n}+1 donc 3$\frac{1}{t\sqr{t}+1}\geq \frac{1}{2n\sqr{2n}+1} d'ou:

3$ \int_{n}^{2n}\frac{1}{t\sqr{t}+1}\geq \frac{n}{2n\sqr{2n}+1}=\frac{1}{2\sqr{2n}+1}

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 16:12

Ne devrais t-on plutot pas la majorer et dire qu'elle est positive, puis appliquer le théorème de majoration ?

Posté par
Cauchyre : Séries numériques 03-12-06 à 16:12

C'est ce que j'ai fait non?

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 16:13

et je ne suis pas d'accord avec la dernière égalité ^^ pourquoi le n disparait? il y a le +1 non ?

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 16:14

non c'est une minoration la non ?

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 16:18

enfin bref j'ai compris le principe merci beaucoup !

Posté par
Cauchyre : Séries numériques 03-12-06 à 16:27

Oui effectivement il y a le plus 1 mais il pose pas de probleme, bien sur j'ai minore si tu majores t'arrives à rien.

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 16:31

bah si ...

on peut majorer par \frac{n}{n\sqrt{n}+1}

qui est équivalent en + à :

\frac{1}{\sqrt{n}}

et comme la série est positive, ça diverge ...

non ?

Posté par
Cauchyre : Séries numériques 03-12-06 à 16:34

Oui c'est bien ca les constantes c'est pas tres important quand tu regardes ce qui se passe à l'infini.

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 16:35

ok ok ... rolala je bloque encore sur la suivante ...

Posté par
Cauchyre : Séries numériques 03-12-06 à 16:38

Quelle suivante ?

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 16:39

bah j'ai un exercice avec 11 séries ... je dois regarder leur convergence ... mais c'est nouveau pour moi alors j'ai du mal ... je n'en suis qu'à la 3e

Posté par
Cauchyre : Séries numériques 03-12-06 à 16:44

Ok bon courage alors

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 16:45

ah j'ai peut être trouvé ... Voici la série : 4$d_{n}=\frac{1}{ln(ch(n))}

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 16:49

oups ... alors j'ai retranscrit le ch à sa forme originelle avec l'exponentielle et j'arrive à :

dn= 5$\frac{1}{ln(\frac{e^2n+1}{2}-n}

d'ou dn est équivalent en l'infini à \frac{1/n} donc diverge ...

?

Posté par
Cauchyre : Séries numériques 03-12-06 à 16:55

J'aurai fait comme ca,

ch(n)>=1 donc ln(ch(n))>=0 on a bien une serie à termes positifs.

ch(n)=(e^n+e-n)/2<=e^n donc ln(ch(n))<=n donc 1/ln(ch(n))>=1/n donc diverge.

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 16:55

ok ok ... on arrive à la même chose

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 16:59

J'ai une question ... si je me souviens bien de mon cours de sup', on ne peut pas faire de dl de :

6$\(1+\frac{1}{n})^{\frac{1}{n}} lorsque n tend vers l'infini car l'exposant n'est pas constant c'est bien ça ?

Posté par
Cauchyre : Séries numériques 03-12-06 à 17:07

Tu peux le mettre sous forme1+1/n)^(1/n)=e^(1/n)(ln(1+1/n)) et ca tend vers 1 quand n tend vers l'infini.

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 17:31

Je ne m'en sors pas ... la série à étudier est :

4$e_n = (n+1)^{\frac{1}{n}} - n^{\frac{1}{n+1}

encore merci pour votre aide ...

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 17:41

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 17:53

une petite aide s'il vous plait ...

Posté par
Cauchyre : Séries numériques 03-12-06 à 17:58

J'etais parti je vais voir si je trouve quelque chose.

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 18:04

merci

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 18:28

rien ? Sinon pour la suivante j'ai quelque chose, mais ça me parait trop facile ...
La série est :

4$f_n = (cos(\frac{a}{n^2}))^{n^3} avec a > 0

Alors il me semble que la fonction est positive, pas immédiatement mais à partir d'un certain rang que je note N. Il me semble également que : 4$cos(\frac{a}{n^2}) soit équivalent à 1 en l'infini donc la fonction converge ... est-ce cela ? ça me parait trop évident ... ai-je fait une erreur de raisonnement ?

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 18:28

la série converge pardon pas la fonction

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 18:33



Posté par
Cauchyre : Séries numériques 03-12-06 à 20:33

Desole j'avais des choses à faire,bon en fait la pour celle d'avant je vois pas par contre celle ci diverge plutot.

Son terme général tend vers 1 non?

Posté par edouardbbr (invité)re : Séries numériques 03-12-06 à 20:47

oui j'ai trouvé ça diverge

merci


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