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series numériques

Posté par quichotte (invité) 21-11-07 à 22:12

salut tout le monde j'ai vraiment besoin de votre aide s'il vous plait je n'arrive pas a démontrer cette égalité
soit la série (-1)^n /n avec n* convergente
montrer que (n1) (-1)^k /k (k variant de 1 jusqu'à 2n)= - 1/k (k variant de n+1 jusqu'à 2n)
merci d'avance

Posté par quichotte (invité)series numeriques 21-11-07 à 22:44

merci a toute personne qui compte m'aider.je voudrais juste vous dire que je suis arrivée a montrer le resultat(j'ai utilisé la recurrence).
merci beaucoup

Posté par
lafol Moderateurre : series numériques 22-11-07 à 16:51

Bonjour

tu as besoin d'une preuve directe, ou ta récurrence te suffit ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : séries numériques. 22-11-07 à 19:19

Bonjour ;

Pour tout entier n\ge1 on a ,

\fbox{\Bigsum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{k}=-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-..-\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n}=\underb{\left(-1-\frac{1}{3}-..-\frac{1}{2n-1}\right)}_{termes\hspace{5}d'indices\hspace{5}impairs}\hspace{5}+\hspace{5}\underb{\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+..+\frac{1}{2n}\right)}_{termes\hspace{5}d'indices\hspace{5}pairs}}

d'où ,

\fbox{\Bigsum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{k}=\left(-1-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}-..-\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}\right)\hspace{5}+\hspace{5}2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+..+\frac{1}{2n}\right)} (sauf erreur)

Posté par
lafol Moderateurre : series numériques 22-11-07 à 23:04

joliiii, elhor

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : séries numériques. 22-11-07 à 23:44

Merci lafol

Je crois que le but de l'exercice est de calculer la somme \fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}} ,

pour cela on établit d'abord la convergence en utilisant le critère spécial des séries alternées , puis en écrivant
\fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=\lim_{n\to+\infty}\Bigsum_{k=1}^{2n}\frac{(-1)^k}{k}=-\lim_{n\to+\infty}\Bigsum_{k=n+1}^{2n}\frac{1}{k}=-\lim_{n\to+\infty}\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{n+k}=-\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\Bigsum_{k=1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}}

et en utilisant les sommes de Riemann de la fonction continue \fbox{[0,1]\to\mathbb{R}\\t\mapsto\frac{1}{1+t}} on voit que ,

2$\blue\fbox{\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}=-\int_{0}^{1}\frac{dt}{1+t}=-\ell n(2)} (sauf erreur bien entendu)

Posté par
jeansebre : series numériques 23-11-07 à 12:08

La classe elhor! Simple et de bon goût, et terriblement efficace!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : séries numériques. 23-11-07 à 12:12

Merci jeanseb

Posté par
Rodrigore : series numériques 23-11-07 à 13:34

On peut faire plus élémentaire pour calculer la somme de cette série, bien que l'idée soit essentiellement la même

\Large \sum_{n=0}^N (-x)^n= \frac{1}{1+x}-\frac{(-x)^{N+1}}{1+x} ce qui donne en intégrant entre 0 et 1

\Large \sum_{n=0}^N (-1)^n/(n+1)= -log(2)-\int_{0}^{1} \frac{(-x)^{N+1}}{1+x} dx

Et la majoration suivante permet de conclure

\Large |\int_{0}^{1} \frac{(-x)^{N+1}}{1+x} dx| \leq \int_{0}^{1} x^{N+1}=1/(N+2) \rightarrow 0
  

Posté par
Camélia Correcteurre : series numériques 23-11-07 à 15:01

Bonjour à tous

J'avais un prof qui mettait une formule au tableau et nous disait: ceci est la conclusion, énoncez l'exo et faites-le!

La performance d'elhor est encore plus impressionnante: il n'y avait même pas la formule!

Posté par
lafol Moderateurre : series numériques 23-11-07 à 15:27

bonjour
elhor, c'est bien simple : s'il n'existait pas, il faudrait l'inventer

Posté par
Camélia Correcteurre : series numériques 23-11-07 à 15:33

Salut lafol

Posté par
lafol Moderateurre : series numériques 23-11-07 à 15:36

bonjour Camélia

Posté par
jeansebre : series numériques 23-11-07 à 15:55

Pas mal aussi, Rodrigo...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : séries numériques. 23-11-07 à 18:19

Camélia


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