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Séries numériques
Bonjour je suis en pleine révision des rattrapages d'analyse (L2) et je bloque sur certaines séries numériques de l'ancien partiel donc je cherche de l'aide pour m'aider a avancer, ainsi qu'une vérification des autres.
Soit a un paramètre réel. Etudier la nature des séries numériques de terme général :
a) sh n
b) 1 / (n² ln n)
c) cos n / (n² + sin² n)
d) sin 2n / (
(n) ln (n+1) )
e) n ln (1+ 1/na)
Alors voila
a) sh n = (ex-e-x)/ 2
Le terme général ne converge pas vers 0 (la convergence vers 0 du terme général est une condition nécessaire de convergence) puisque sh n 
quand n .
Donc la série 
sh n est divergente
b) 1 / (n² ln n) est une série de Bertand avec 
= 2 et 
= 1, puisque >1 et = 1 la série converge
e) Soit Un = n ln (1+ 1/na)
pour = 0
Un = n ln (2)
Un donc diverge
pour > 0
Comme ln(1+u) 
u quand u 0 on a :
Un = n /na
Un converge
pour < 0
La limite de Un est infinie et la série Un diverge
Bonjour, Mariegoli
Tes réponses sont exactes pour les séries a et b.
Pour la série e, il y a une erreur dans le cas où a est strictement positif. Dans ce cas, u_n est équivalent à , et cette série ne converge que pour a strictement supérieur à 3/2.
En ce qui concerne la série c:
Ce qui prouve que la série est absolument convergente.
Pour la série d:
Elle est convergente mais, pour le démontrer, il faut utiliser la transformation d'Abel; donc, l'étude de la convergence de cette série est d'une difficulté bien supérieure à celle des 4 autres séries. Je n'ai pas envie de le faire.
Merci pour tes réponses perroquet 
Par contre je ne vois pas trop comment tu arrives pour le c) à ce résultat la, est ce que tu pourrais me détailler un peu plus ?
Pour la d) je vais voir la transformation d'Abel alors car j'en ai jamais entendu parlé.
donc
En multipliant, on obtient:
Comme converge (série de Riemann),
converge , donc
converge absolument, donc
converge.
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