Niveau Maths sup

series numeriques

Posté par Djeffrey (invité) 18-10-05 à 19:25

Bonjour, j'ai de gros soucis sur les series numeriques pouvez vous m'aider sur cet exo j'ai deja fait trois des questions mais la je seche...

Soit $(u_n)$ une suite de reels positifs.

a) Si $\Bigsum a_nu_n$ converge pour toute serie convergente à termes positifs $a_n$ , montrer qu'alors $(u_n)$ est majorée.

b) Si $u_n$ tend vers 0 et $(S_n-nu_n)$ est bornée avec $S_n=\Bigsum_{k=0}^n u_k$ , montrer qu'alors $\Bigsum u_n$ converge.

Voila j'espere que vous pourrez me venir en aide...
Merci a tous

Posté par re:series numeriques 18-10-05 à 21:39

Bonsoir Djeffrey;
a) Par contraposée si on suppose que $(u_n)$ non majorée on doit pouvoir construire une application strictement croissante $\phi{:}\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ telle que $3$\fbox{\forall n\in\mathbb{N}\\u_{\phi(n)}\ge n^2}$ .
on pose alors $3$\fbox{a_n=\frac{1}{u_n}\hspace{5}si\hspace{5}n\in\phi({\mathbb{N}}^*)\\0\hspace{5}sinon}$ et il est alors facile de voir que la série $\Bigsum\hspace{5}a_n\hspace{5}$ est convergente alors que la série $\Bigsum\hspace{5}a_nu_n\hspace{5}$ est divergente.
b) si $(u_n)$ converge vers $0$ il en est de mm pour $(\frac{S_n}{n})$ (résultat connu sous le nom du théorème de césaro dont la démonstration est élémentaire)soit alors $M$ un majorant de la suite $(|S_n-nu_n|)_n$ on peut écrire:
$2$\fbox{\forall k\ge2\\|S_k-k(S_k-S_{k-1})|\le M}$ ie $2$\fbox{\forall k\ge2\\|kS_{k-1}-(k-1)S_k|\le M}$ ie $2$\fbox{\forall k\ge2\\|\frac{S_{k-1}}{k-1}-\frac{S_k}{k}|\le\frac{M}{k(k-1)}}$ on en déduit alors que:
$2$\fbox{\forall n\ge1\\|\Bigsum_{k=n+1}^{\infty}(\frac{S_{k-1}}{k-1}-\frac{S_k}{k})|\le\Bigsum_{k=n+1}^{\infty}|\frac{S_{k-1}}{k-1}-\frac{S_k}{k}|\le\Bigsum_{k=n+1}^{\infty}\frac{M}{k(k-1)}}$ ie $2$\fbox{\forall n\ge1\\\frac{S_n}{n}\le\frac{M}{n}}$ et donc que $2$\fbox{\forall n\ge1\\S_n\le M}$
la suite $(S_n)$ étant croissante majorée elle converge. CQFD

Sauf erreurs bien entendu

Posté par derby3 (invité)re : series numeriques 19-10-05 à 14:54

qu'est ce que ça veut dire ie?

Merci.

Posté par Djeffrey (invité)re : series numeriques 19-10-05 à 18:36

merci bbcp elhor, pourrais tu m'expliquer pourquoi dans la seconde reponse on somme de n+1 a l'infini car je ne vois pas pourquoi on part de n+1...
Sinon le reste je le comprend sauf peut etre le dernier ie qui ne me semble pas evident...

Merci beaucoup quand meme si tu peux m'eclaircir sur ces deux points

Posté par re : series numeriques 20-10-05 à 00:31

Bonsoir Djeffrey;
(*)"ie" est une abréviation de "c'est à dire que".
(*)on part de $n+1$ parce qu'on a supposé $n\ge1$ pour partir de $n$ il suffit de supposer $n\ge2$ .
(*) $\frac{M}{k(k-1)}=M(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k})$

Posté par Djeffrey (invité)re : series numeriques 20-10-05 à 16:59

merci elhor
Juste une derniere chose, a quoi te sert le theoreme de cesaro ici, je ne vois pas ou tu utilises que le quotient Sn/n converge vers 0.

Posté par re : series numeriques 20-10-05 à 18:56

Bonjour Djeffrey;
$|\Bigsum_{n+1}^{+\infty}(\frac{S_{k-1}}{k-1}-\frac{S_k}{k})|=|\lim_{N\to+\infty}\Bigsum_{n+1}^{N}(\frac{S_{k-1}}{k-1}-\frac{S_k}{k})|=|\lim_{N\to+\infty}(\frac{S_n}{n}-\frac{S_N}{N})|=|\frac{S_n}{n}-\lim_{N\to+\infty}\frac{S_N}{N}|=|\frac{S_n}{n}-0|=\frac{S_n}{n}$

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