Bonjour,
Soit A l'ensemble des entiers n ≥ 1 dont l'écriture décimale ne contient pas le chiffre 9. Montrer que la serie
converge. Donner une borne supérieure explicite pour sa somme.
Quelqu'un aurait il des idées ?
En vous remerciant à tous
Salut
intéressant comme problème, l'idée est que les nombres ne contenant pas de 9 se raréfient plus le nombre de chiffres augmente, et cela à une vitesse "plus rapide", en quelque sorte, que la vitesse de divergence de la série harmonique
tu peux regarder la famille d'ensembles où
A1 = {1,2,3,4,5,6,7,8} a 8 éléments
et pour tout k entier > 2 Ak possède 9k éléments dont le plus petit est 10k .
Pour k entier > 0 ce que j'ai appelé Ak est l'ensemble des nombres entiers > 0 dont l'écriture décimale a k chiffres et ne comporte pas le chiffre 9 .
Mes Ak ne sont pas ceux de Zormuche .
Bonjour, jarod128
J'étais mal réveillé !!
Mais le nombre des Ak est infini .
Par contre tu as raison sur Card(Ak )
Card(A2) = 72 = 8.9
Pour obtenir Ak+1 à partir de Ak :
Chaque élément u1u2....uk de Ak fournit 9 éléments
u1u2....uk0, u1u2....uk1,....,u1u2....uk8 de Ak+1 .
Bonjour
Soit un entier.
Si , posons
. Alors on a la relation
et donc
Si , posons
. Alors on a la relation
et donc
Soit : on a alors
Il vient alors
Je ne suis pas d'accord avec toi jsvdb:
ton dénombrement ne "compte" pas par exemple 10 dans A2
Pour moi c'est 8*9k-1
Si je connais , alors
est obtenu à partir des nombres de k+1 chiffres qui commencent par 1,2,3,4,5,6,7,8. J'ai donc bien
.
Ex et
ce qui est correct.
Enfin, j'applique la formule des suites géométriques (décalée au besoin sur n, ce qui est la cas ici)
On a 8 choix pour le premier chiffre (de 1 à 8) puis 9 choix pour chaque chiffre suivant (de 0 à 8)...
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