Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau maths spé
Partager :

Series Numeriques

Posté par
marcelleK
26-10-20 à 23:40

Bonjour,

Soit A l'ensemble des entiers n ≥ 1 dont l'écriture décimale ne contient pas le chiffre 9. Montrer que la serie  \sum_{n\in A}^{}{\frac{1}{n}}
converge. Donner une borne supérieure explicite pour sa somme.  

Quelqu'un aurait il des idées ?

En vous remerciant à tous

Posté par
Zormuche
re : Series Numeriques 26-10-20 à 23:55

Salut

intéressant comme problème, l'idée est que les nombres ne contenant pas de 9 se raréfient plus le nombre de chiffres augmente, et cela à une vitesse "plus rapide", en quelque sorte, que la vitesse de divergence de la série harmonique

tu peux regarder la famille d'ensembles  (A_k)_{k\ge 1}  où  A_k=\{x\in A, \quad x ~\text{possède}~k~\text{chiffres}\}

Posté par
etniopal
re : Series Numeriques 27-10-20 à 08:34

    A1  = {1,2,3,4,5,6,7,8} a    8 éléments
et pour tout k  entier > 2  Ak possède  9k  éléments  dont le plus petit est 10k .

Posté par
etniopal
re : Series Numeriques 27-10-20 à 08:41

     Pour k entier > 0 ce que j'ai appelé  Ak est l'ensemble des  nombres entiers > 0   dont l'écriture décimale  a k chiffres  et ne comporte pas le chiffre 9 .

Mes Ak ne sont pas ceux de Zormuche .

Posté par
jarod128
re : Series Numeriques 27-10-20 à 08:50

Bonjour,
Etniopal: tes Ak ne sont-ils pas au nombre de 8*9^{k-1}? Car on ne commence pas avec 0.

Posté par
etniopal
re : Series Numeriques 27-10-20 à 09:13

Bonjour, jarod128

     J'étais mal réveillé !!

Mais le nombre des Ak est infini .

Par contre  tu as raison sur  Card(Ak )  
Card(A2) =  72 = 8.9
Pour obtenir   Ak+1   à partir de Ak :
     Chaque  élément u1u2....uk de Ak fournit  9 éléments
u1u2....uk0, u1u2....uk1,....,u1u2....uk8 de  Ak+1    .

Posté par
jsvdb
re : Series Numeriques 27-10-20 à 12:31

Bonjour

Soit k\geq 1 un entier.

Si B_k = \{n\in \N, n \text{ possède } k \text{ chiffres}\}, posons b_k = \sharp B_k. Alors on a la relation \begin{cases}b_k=10& \text{ si } k=1  \\ b_k = 9b_{k-1} & \text{ si } k \geq 2  \end{cases}  et donc b_k = 10*9^{k-1}

Si A_k = \{x\in A, x \text{ possède } k \text{ chiffres}\}, posons a_k = \sharp A_k. Alors on a la relation \begin{cases}a_k=9& \text{ si } k=1  \\ a_k = 8a_{k-1} & \text{ si } k \geq 2  \end{cases}  et donc a_k = 9*8^{k-1}

Soit n \in A_k, n > 0 : on a alors \frac{1}{n} \leq \frac{1}{10^{\cdots}}

Il vient alors \sum_{n\in A_k} \frac{1}{n} \leq \cdots \text{ et donc }\cdots

Posté par
jarod128
re : Series Numeriques 27-10-20 à 13:02

Je ne suis pas d'accord avec toi jsvdb:
ton dénombrement ne "compte" pas par exemple 10 dans A2
Pour moi c'est 8*9k-1

Posté par
jsvdb
re : Series Numeriques 27-10-20 à 13:43

Si je connais a_k, alors a_{k+1} est obtenu à partir des nombres de k+1 chiffres qui commencent par 1,2,3,4,5,6,7,8. J'ai donc bien 8a_k.

Ex a_1 = 9 et a_2 = 9+9+9+9+9+9+9+9+9 = 8*9 = 72 ce qui est correct.

Enfin, j'applique la formule des suites géométriques a_n = a_0.q^n (décalée au besoin sur n, ce qui est la cas ici)

Posté par
jarod128
re : Series Numeriques 27-10-20 à 14:02

Tu n'as donc jamais de 0 comme chiffre...

Posté par
jarod128
re : Series Numeriques 27-10-20 à 14:03

On a 8 choix pour le premier chiffre (de 1 à 8)  puis 9 choix pour chaque chiffre suivant (de 0 à 8)...

Posté par
jarod128
re : Series Numeriques 27-10-20 à 14:06

a1=9
a2 ta formule et la mienne donne 72...

Posté par
jsvdb
re : Series Numeriques 27-10-20 à 14:50

jarod128 @ 27-10-2020 à 14:02

Tu n'as donc jamais de 0 comme chiffre...

Ok j'ai compris grâce au dénombrement simple.
Maintenant je vais voir comment on peut le mettre en récurrence.

Posté par
jarod128
re : Series Numeriques 27-10-20 à 15:57

La récurrence est immédiate en disant qu'on ajoute le chiffre des unités à la fin. 9 choix possible...



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1742 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !