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Séries numériques - Séries entières (dans R)

Posté par downfall (invité) 27-05-05 à 21:37

bonjour, je vais consacrer ce topic à faire des exercices sur les séries. j'aimerai qu'on me corrige ou qu'on m'aide si je n'y arrive pas..
Merci !

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Déterminer par des méthodes différentes la nature des séries de terme général :

1°) U_{n}=\frac{n-1}{(n+1)!}
2°) U_{n}=ln(1-\frac{1}{n^{2})
3°) La série de terme général U_{n}=\frac{(-1)^{n}}{nlnn} converge-t-elle ? converge t-elle absolument ?

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1°) Déterminer le rayon de convergence R de la série de terme général U_{n}=\frac{n(x+2)^{n}}{3^{n+1}}
2°) En déduire la nature de la série pour toutes les valeurs de x
3°) La série de terme général U_{n} = \frac{n(-2)^{n}}{3^{n+1}} converge t-elle absolument ?
4°) expliquer pourquoi \displaystyle{\sum_{0}^{+\infty}} \frac{(x+2)^{n}}{3^{n}} = \frac{3}{1-x}} sur le bon intervalle
5°) Calculer, si possible, la somme de la série de terme général U_{n}=\frac{n(-2)^{n}}{3^{n+1}}

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désolé je refais pas le ssignes ca prend un temps fou oO

1°)U_{n}=\frac{n-1}{(n+1)!}
On utilise la règle de D'Alembert:
lim n=>+inf Un+1/Un = n/(n+2)! * (n+1)!/(n-1) = n(n+1)! /(n-1)(n+2)(n+1)! = n/(n-1)(n+2) =0

0<1, la série converge.
|Un| = Un, la série converge absolument.

2°) U_{n}=ln(1-\frac{1}{n^{2})
vu qu'il faut utiliser une méthode differente, j'ai essayé comparaison avec une integrale, mais je n'ai pas reussi quelqu'un a une idée ?

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1°) U_{n}=\frac{n(x+2)^{n}}{3^{n+1}}
serie entiere; d'alembert :
An = n/3^(n+1)
lim n=>+inf |An+1/An| = n+1/3^(n+2) * 3^(n+1)/n = 1/3

R = 1/ (1/3) = 3.

2°) si |x+2| < R, la série conv.
la série converge si -5 <x < 1
si |x+2| > R, la série diverge
si |x+2| = R, x =1 ou x = -5
pour x =1, Un = 3/n. (riemann, serie divergente et lim +inf = +inf)
pour x=-5, Un = (-3)^n/3^(n+1) =(-1)^n*3^n *n / 3^n *3 = (-1)^n *n/3
=> serié alternée
converge si lim n/3 en +inf =0 ET si n/3 decroissant.
lim +inf n/3 = +inf, c'est fini la serie diverge.

3°) cette serie equivaut a Un avec x =-4
On a vu que si    
si |x+2| < R, la série conv.
si |x+2| > R, la série diverge
=> -4+2 = -2
|-2| < R, la série diverge.

4°)(x+2)^n/3^n <=> (x+2/3)^n
série géométrique: donc somme = 1/1-(x+2/3) = 1/1-x
mais c'est vrai ssi |(x+2/3)| <1
<=> -1 < x+2/3 < 1
    -5 < x < 1 est donc l'intervalle.

5°)là la somme je vois pas du tout :/

dites moi si j'ai bon dans mes raisonnements svp, et si vous pouviez m'aider pour ce que je n'ai pas trouvé ca serait gentil

Posté par danskala (invité)re : Séries numériques - Séries entières (dans R) 27-05-05 à 22:40

salut,

pour Un=ln(1-1/n²),
ln(1-1/n²) est équivalent à -1/n² (quand n tend vers +oo)
-1/n² est de signe constant et est le terme général d'une série convergente, donc la série de terme général Un est convergente

Pour la 3ème série, le terme général n'est pas très lisible...

bye

Posté par jayrhum (invité)re : Séries numériques - Séries entières (dans R) 27-05-05 à 22:46

Salut,

Sur le second exercice, il me semble qu'une faute de frappe s'est glisouillée dans ta réponse question 3)
La série converge bien.
Pour calculer la somme, pense à faire apparaître un terme de la forme
k\times(\frac{-2}{3})^{k-1}
En utilisant la dérivation tu t'en sors aisément. J'ai fait le calcul, je trouve -2/25.

Bon courage.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre:Séries numériques - Séries entières (dans R) 28-05-05 à 01:38

1°) on a:n*
(n-1)/(n+1)! = 1/n! - 2/(n+1)!
donc (n-1)/(n+1)! est convergente(différence de 2 séries convergentes) et de somme:
n1

(n-1)/(n+1)! = e-1-2(e-2) = 3-e
n=1
2°) on a:n\{0,1}
ln(1-1/n²)=[ln(n+1)-ln(n)]-[ln(n)-ln(n-1)]
on voit donc que:
i=n
ln(1-1/i²) = ln(n+1)-ln(n)-ln(2)
i=2
ce qui etablit la convergence de la série en question et donne sa somme:

ln(1-1/n²) = -ln(2)
n=2
3°) posons pour n2 : n = 1/nln(n)
il est clair que la suite (n)n décroit vers 0
le critére spécial des séries altérnées permet donc de conclure que la série de terme général Un est convergente.

on a n3:
n
|Un|=1/nln(n) dx/xln(x)
n-1
(vu que la fonction x1/xln(x) est décroissante sur [n-1,n])
n
d'où: |Un|[ln(ln(x))]
n-1
donc: |Un|ln(ln(n))-ln(ln(n-1))
par sommation on a:
i=n
|Un| ln(ln(n))-ln(ln(2))
i=3
la série de terme général Un n'est donc pas absolument convergente
(on dit qu'elle est semi convergente)

Posté par downfall (invité)re : Séries numériques - Séries entières (dans R) 28-05-05 à 08:54

Merci
alors j'avais juste ce que j'ai fais ?
je vais poster d'autres exercices

Posté par downfall (invité)re : Séries numériques - Séries entières (dans R) 28-05-05 à 09:07

pour la somme du deuxieme, j'ecris sous la forme n/3 * (-2/3)^n mais je vois pas comment on fait avec la derivation, si quelqu'un pouvait m'expliquer en detail

sinon ben la série 3 de l'exo un c'est (-1)^n / n*ln(n) j'ai oublié d ela faire mais elle est facile

Posté par jayrhum (invité)re : Séries numériques - Séries entières (dans R) 28-05-05 à 13:15

Pour la somme, c'est n\times(\frac{-2}{3})^{n-1} qu'il faut faire apparaître! Donc il faut faire sortir -2 du numérateur et 9 du dénominateur.

On obtient:

S =\frac{-2}{9} \sum_{n=0}^\infty n\times(\frac{-2}{3})^{n-1}
S =\frac{-2}{9} (\sum_{n=0}^\infty x^{n})'(avec x=-2/3)
S =\frac{-2}{9} (\frac{1}{1-x})'(avec x=-2/3)
S =\frac{-2}{9}\times\frac{1}{(1-x)^2}(avec x=-2/3)

S=-2/25

Posté par downfall (invité)re : Séries numériques - Séries entières (dans R) 28-05-05 à 14:38

bien! merci

Posté par downfall (invité)re : Séries numériques - Séries entières (dans R) 28-05-05 à 21:23

jai un exemple de somme de serie entiere a calculer par integration, mais je n'ai rien compris..
je vois pas de quoi on part. pour la derivation on sait ce que vaut somme des x^n , serie géometrique, ou serie exponentielle etc..

quelqu'un pourrait m'expliquer en detail la méthode svp ?
série : Un = 1/(n+1) * x^n avec x=1/3
resultat = -3 ln(2/3)

merci

Posté par jayrhum (invité)re : Séries numériques - Séries entières (dans R) 28-05-05 à 21:48

Bah c'est à peu près le même topo...

S= \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}\times x^n (x=1/3)

Tu fais apparaître \frac{1}{n+1}\times x^{n+1} qui est une forme connue...

S=\frac{1}{x} \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1}\times x^{n+1} (x=1/3)

S=\frac{1}{x} \sum_{n=0}^{\infty}\int x^n dx (x=1/3)

S=\frac{1}{x}\int(\sum_{n=0}^{\infty}x^n) dx (x=1/3)

S=\frac{1}{x}\int(\frac{1}{1-x}) dx (x=1/3)

S=-\frac{1}{x}ln(1-x) (x=1/3)

S=-3\times ln(\frac{2}{3}) (x=1/3)

Dans une copie d'examens, il sera de bon ton de justifier certains passages...Notamment l'inversion intégrale-somme qui est la base de tous ces types de calculs... Moi j'aime pas me justifier


Posté par
davidkre 28-05-05 à 21:59

Je vois que tu vis la nuit cher jayrhum.

Posté par downfall (invité)re : Séries numériques - Séries entières (dans R) 28-05-05 à 22:19

d'accord je vois!

en tout cas merci

Posté par downfall (invité)re : Séries numériques - Séries entières (dans R) 29-05-05 à 09:05

Rebonjour,
je n'arrive pas à faire ceci:

Déterminez la série entière associée a la fonction
\int e^{-x^{2}} dx

Posté par downfall (invité)re : Séries numériques - Séries entières (dans R) 29-05-05 à 09:13

je crois qu'il faut ramener a la serie exponentielle somme x^n/n! = e^x mais je vois pas trop, je regarde

Posté par downfall (invité)re : Séries numériques - Séries entières (dans R) 29-05-05 à 09:18

si je prends (e^{-x^{2})^{-1/x}} j'ai bien e^x
enfin je sais pas

Posté par
ottore : Séries numériques - Séries entières (dans R) 29-05-05 à 10:35

Heu, tu fais quoi là?
Pourquoi tu ne développes pas en série, et tu l'intègres ensuite?
Ici il n'y a pas de problème.

Posté par downfall (invité)re : Séries numériques - Séries entières (dans R) 29-05-05 à 10:38

on a pas vu le developpement en série pas eu le temps :/
je suis qu'en premiere année

Posté par
ottore : Séries numériques - Séries entières (dans R) 29-05-05 à 11:18

On te demande de développer en série, je le fais, et tu me dis que tu n'as pas le droit parce que tu n'as pas vu ca.
Bizarre, y'a un truc qui m'échappe...
Que veux tu exactement?

Posté par downfall (invité)re : Séries numériques - Séries entières (dans R) 29-05-05 à 11:30

Je sais pas..j'ai juste repris un sujet d'années anterieures, et donc apparement ils ont vu le developpement en série entiere, et pas nous cette année >_<
ca doit etre ça
desole, merci quand même

Posté par
ottore : Séries numériques - Séries entières (dans R) 29-05-05 à 11:36

Pas grave, si tu connais les développements de Taylor, tu connais les séries entières, c'est exactement pareil, à la différence près qu'ils ne représentent pas la même chose, et parfois ils ne représentent rien.
Par exemple la fonction f: x->exp(-1/x²) tu peux lui trouver une série formelle sans problème avec le théorème de Taylor.
Notamment cette série est nulle, ce qui montre en fait (si on a quelque bases) que la série ne converge pas vers ta fonction.
En fait on parle de série formelle dans le cas général, et de série entière si elle converge vers f.
En fait elle converge vers f, si le reste converge uniformément vers 0.

Posté par downfall (invité)re : Séries numériques - Séries entières (dans R) 29-05-05 à 14:15

D'accord, merci des precisions
J'ai effectivement vu les developpements limités au debut de l'année, formule de Taylor, Mac Laurin, etc
Merci


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