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Séries-suites

Posté par amazigh77 (invité) 19-03-06 à 15:07

Bonjour,

J'aurai besoin de rappels salvateurs.

1) Comment reconnait-on une suite d'une série ?

2) Quel est le résultat de l'équation ci-jointe :

Merci de bien détailler la méthode


Séries-suites

Posté par
Youpire : Séries-suites 19-03-06 à 16:20

Bonjour

Pour répondre grossièrement à la première question, une série est la somme des termes d'une suite.

Pour la deuxième question connais-tu les séries de fourier ?

car en étudiant la série de Fourier de la fonction 2-périodique définie par:
3$ \forall x\in]-\pi,\pi[ \;\;f(x)=\frac{x}{2} \; {\rm et } \;f(\pi)=0

on trouve que 3$ \fbox{\Bigsum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}}

Posté par
Youpire : Séries-suites 19-03-06 à 16:24

en fait on trouve d'abord que 3$ \Bigsum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}

puis on déduit que 3$ \fbox{\Bigsum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}}

Posté par amazigh77 (invité)re : Séries-suites 19-03-06 à 16:36

Merci de ta réponse.

Mais comment fait-on si on a pas vu d 'emblée la relation avec
la série de Fourier de la fonction 2 pi-périodique précitée ?


Car il me semble que ta démarche est inductive et non déductive.

Posté par
Youpire : Séries-suites 19-03-06 à 16:42

Je t'ai juste résistué la méthode que je me souvenais avoir vu pour trouver cette somme, je n'ai pas prétendu l'avoir inventé.

A chaque fois que j'ai eu a faire à ce genre de somme dans un exercice, il y avait toujours quelques "indices" permettant d'arriver au résultat.

d'ailleur je crois que l'on peut retrouver le même résultat en étudiant d'autres séries de fourier.

Posté par amazigh77 (invité)re : Séries-suites 19-03-06 à 20:51

Je te remercie Youpi.

Mais quelqu'un pourrait-il m'expliquer comment on trouve [sup][/sup]2/8 à partir de la 1ère équation.

Merci d'avance

Posté par
kaiser Moderateurre : Séries-suites 19-03-06 à 21:12

Bonsoir amazigh77

Pour cela, il suffit de découper la somme précédente en deux morceaux : un morceau qui est la somme des termes d'indice pair et un autre qui est la somme des termes d'indices impair.

Kaiser

Posté par
Ksilverre : Séries-suites 19-03-06 à 22:10

techniquement la seri de fourier conne directement la somme sité il me semble non ? (je dis sa de memoir... mais en faitje le faisait avec t² moi de memoir aussi)

enfin ceci est un detail...

la seri de fourier c'est pas l'uniquement moyen d'optenir ce resultat, (par exemple j'ai un superbe exo dans mon DM de cette semaine, qui permet de l'obtenir au niveaux SUP donc, par des etudes de polynome en fait) mais a mon avi la seri de fourier est quand meme le plus rapide...


mais sur cette somme il ni a de toute facon pas de demarche deductive possible a ma connaisance, il faut toujour partir de "l'etude" de quelque chose.

Posté par
Ksilverre : Séries-suites 19-03-06 à 22:12

tien justement !

http://perso.wanadoo.fr/gilles.costantini/prepas_fichiers/zeta2.pdf

voici 4 methode differente pour obtenir ce reultat (celle dont je parlais y est ! )

Posté par
Youpire : Séries-suites 19-03-06 à 22:17

Tout d'abord il y a une erreur dans ce que j'ai écris précédement puisque la 1ère somme ne peux partir de 0 mais plutôt de 1.

Pour illustrer ce que viens d'écrire Kaiser :

3$ \Bigsum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\Bigsum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2}+\Bigsum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}

donc

3$ \Bigsum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\Bigsum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}-\Bigsum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n^2} \Longleftrightarrow \fbox{\Bigsum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{3}{4}\Bigsum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}

donc 3$ \Bigsum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{3}{4} \times \frac{\pi^2}{6} \Longleftrightarrow \fbox{ \Bigsum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}}

Posté par izaabelle (invité)re : Séries-suites 19-03-06 à 22:58

tiens donc, c'était une question dans mon dernier partiel de maths sur les séies!!


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