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SEV avec sphère
Bonsoir,
je butte sur un exercice de mon TD :
F est un R-Espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E.
Je dois montrer que s'il exister >
*+ tel que S(0,) ⊂ F alors on a que F=E, puis en déduire que si F
E, on à que Inte(E)=
.
Je suppose donc que est positif et vérifie S(0,)
F mais je ne sais pas qu'en déduire.
Une chose est sûre pour montrer que F=E c'est que l'inclusion directe est immédiate, reste donc à montrer que si un élément xE alors xF. Mais je ne vois pas trop de rapport avec et avec la sphère. Peut être que je dois utiliser le fait que F est un SEV et donc utiliser la stabilité par combinaison linéaire, mais je ne vois pas où...
Merci!
Bonsoir. Ton x a t il un vecteur colinéaire dans F? Si oui il y a t il un vecteur colinéaire à ce vecteur colinéaire qui par stabilité de F permettrait de conclure ?
Désolé si je ne suis pas clair mais je ne veux pas te le donner "tout fait"
je ne vois pas ce que vous voulez dire par "vecteur colinéaire" à x ?
Voulez vous dire que dans F il existe un élément yF qui vérifie y=k.x avec k ?
Que ce soit le cas ou pas, je ne sais pas répondre à votre question...
Bonsoir
une aide intuitive, peut être : la sphère va dans toutes les directions, donc si la sphère est dans F, ça veut dire que F contient "toutes les directions" sur un petit rayon
On peut alors poser zS(0,)
Ainsi, par stabilité de F, avec xF, pour tout k, k.x F
Et cela pour tout x de la sphère.
Je vois bien que ca va recouvrir beaucoup de l'espace mais je ne sais pas trop comment faire
tu peux le faire dans l'autre sens :
si x est dans E, alors on peut se ramener à un point dans la sphère
Bonsoir
je suis presque certaine que tu as déjà eu l'occasion de fabriquer un vecteur unitaire à partir d'un vecteur de longueur quelconque, par exemple en cours de physique au lycée ...
à partir d'un vecteur de longueur 1, tu dois être capable d'en fabriquer un de longueur donnée, genre epsilon sur deux ?
Tout à fait. A partir d'un vecteur x tel que ||x||=1, je sais former x' de la norme 
que je veux en posant x'=x/||x||
Voulez vous dire qu'avec x qui est dans la sphère, je peux "créer" n'importe quel x' dans l'espace total en écrivant quelque chose du style :
S(0,)F qui est un sous espace vectoriel de E
Or 
xS(0,), on a que ||x||=
Soit xS(0,).
Je pose Hx= {x'=
x/ pour tout }
HF par stabilité de F en tant qu'-espace vectoriel.
Ceci est vrai xS(0,)
Donc... Je ne sais pas trop comment je peux affirmer que (Hx)xS(0,) = F = E bien que je le visualise bien en 2D dans ma tête (et même en 3D 
)
Merci
lafol te parle de normaliser les vecteurs (et par extension, les normaliser à la norme qu'on veut)
la sphère est un ensemble qui contient tous les vecteurs de norme epsilon
qu'est-ce qui fait qu'un vecteur x de E quelconque n'est pas dans la sphère ? c'est seulement sa norme
et donc, qu'est-ce qu'on peut faire ?
Ah mince je pensais avoir compris...
Du coup un vecteur x de E n'est pas dans la sphère ssi ||x||.
Ah je commence à comprendre.
Pour tout xE\{vecteur nul}, on peut poser x'=x/||x||.
Or ||x|| donc par stabilité de E en tant que -EV, x'E
Je pose f:x
x/||x|| ; E
S(0,)
Je bloque pour montrer que F=E, même si je le vois......
Ou plutôt :
Comme je peux passe de tout élément de E à un élément de S(0,r) donc de F (et réciproquement) par combinaison linéaire, on a que E=F.
Ca suffit ?
salut
que c'est malheureux ...
F est un R-Espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E.
donc immédiatement
or tout élément non nul x de E est colinéaire à
) donc à F
...
salut
que c'est malheureux ...
F est un R-Espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E.
donc immédiatement
or tout élément non nul x de E est colinéaire à
) donc à F
...
Qu'est ce qui est malheureux ?
Que je n'arrive pas à conclure ? Ou que je ne sois pas a l'aise avec tout ça ?
J'essaye et c'est ce qu'on veut ici, non?
Soit x dans E*
posons R la norme de x et Z=.x/R
par stabilité par combinaison linéaire, Z est dans E
et ||Z||= ie : ZS(0,)F
Et si x=0E alors par définition d'un SEV, 0E=0FF
Le truc c'est qu'on a pas montré que xE, 
ZE tel que ZS(0,) et donc ZF
On a pas montré que xE, xF.
Je sens qu'on est pas loin mais je bloque de nouveau.
Merci
qu'est-ce que tu te compliques la vie avec bien des notations et autre introduction d'objets inutiles ...
tout d'abord il semble que tu n'aies pas saisi une propriété fondamentale des (sous-)espaces vectoriels:
si E est un (sous-)espace vectoriel et si x est un élément de E et k un scalaire alors kx est un élément de E : si x appartient à e alors tout vecteur colinéaire à x appartient à E !!
F est un R-Espace vectoriel et F un sous-espace vectoriel de E.
donc immédiatement
or tout élément non nul x de E est colinéaire à
) donc à F
...
d'autre part F est un (sous-)espace vectoriel donc contient 0
donc tout élément de E est un élément de F donc
Oui bien sur, c'est F E 
Inte(F)=
Du coup je veux montrer la contraposée :
Soit Inte(F) ie : Il existe xF.
On peut poser ||x||=
On se retrouve avec xS(x,).
J'imagine qu'on peut utiliser maintenant la question précédente, mais le souci c'est qu'on ne suppose pas que la sphère est "pleine"...
Merci encore
Qu'entends-tu par "on ne suppose pas que la sphère est pleine" ?
Peux-tu rappeler la définition d'intérieur d'une partie ?
je veux dire qu'on a x de l'intérieur de F, xS(0,r) mais que tout point de la sphère n'est pas forcément dans F.
L'intérieur de F est la réunion de tous les ouverts inclus dans F.
D'accord mais on est dans un espace métrique, on a une caractérisation plus agréable pour l'intérieur. Si x est dans l'intérieur de F, il appartient à un ouvert inclus dans F. Qu'est-ce que ça veut dire ça en terme de boules ? Ensuite il y a deux - trois petites choses à justifier pour qu'on se ramène au tout début de ton exercice.
Oui, essaye de te ramener aux hypothèses de départ de ton énoncé désormais.
Je m'en vais pour ce soir, bon courage et bonne continuation.
Bonne soirée 
Ici on a l'existence d'un x de F et d'un r positif tel que la boule B(x,r) est incluse dans F
dans l'hypothèse de départ, on avait une sphère centrée en 0 et incluse dans F et on pouvait conclure que F=E
tu peux montrer que la boule B(0,r) est incluse dans F
Yes, je pense avoir réussi, dites moi, svp, si ça vous semble correct :
On a que B(x,r) F
Or par stabilité de F en tant qu'espace verctoriel on peut effectuer une translation par vecteur -x de tous les éléments de B(x,r) qui donne que B(0,r) F
Soit 
=r/2.
S(0,)B(0,r)F.
Grace a ce qu'on a montré juste avant on déduit que F=E.
Par contraposee, FE Inte(F)=
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