Inscription / Connexion Nouveau Sujet
si A non vide fermée de R sans point isolé alors Card A = Card R
Bonjour
j'ai un exercice ou je dois montrer que si A est une partie non vide de R (les réels) fermée sans point isolé, alors Card A = Card R
voici ce que j'ai fait:
Le complémentaire de A est ouvert donc réunion d'intervalles ouverts (car les ouverts d'un espace métrique sont les réunions de boules ouvertes et que les boules ouvertes de R muni de la distance |x-y| sont les intervalles ouverts). (Je débute en topologie donc je détail tout pour que vous me disiez si j'écris des choses fausses)
Donc A peut s'écrire comme intersection d'ensembles du type: ]-∞;a_n] U [b_n; +∞[ avec a_n et b_n qui sont soit des réels, soit +- ∞.
Et comme A n'est pas vide, on peut dire qu'il existe n0 tel que a_n0 ou b_n0 est fini.
Supposons que b_n0 soit fini, alors [b_n0; +∞[ est inclus dans A.
R s'injecte dans [b_n0; +∞[ par la fonction qui à x dans R associe exp(x)+b_n0
Je n'arrive pas à faire apparaitre explicitement l'hypothèse "A est sans point isolé" dans ma démo.
Je pense que je dois l'utiliser pour dire que le complémentaire de A n'est pas réunion de singletons {a_n} car sinon A serait intersection de ]-∞;a_n[ U ]a_n; +∞[ et aurait les a_n comme points isolés.
Du coup il faudrait que je rajoute cette phrase juste avant "Donc A peut s'écrire comme intersection...." ?
Merci
Je ne vois pas trop où mène ta démarche.
Je te propose une piste, qui consiste à fabriquer une injection de dans
. Les éléments de
s'identifient à des suites infinies de
et de
.
Cette injection peut se fabriquer de la manière suivante
On construit pour chaque entier une application qui à chaque suite finie
de longueur
de
et de
associe un point
de
et un intervalle ouvert
centré en
, de longueur
, de telle façon que les
soient deux à deux disjoints.
De plus, on demande que pour tout et pour tout
de longueur
, les intervalles
et
soient (disjoints et) contenus dans
.
On initialise pour en choisissant un point
de
et en prenant pour
l'intervalle de longueur 1 centré en
.
Je te laisse voir comment faire l'hérédité, et aussi voir comment définir au moyen de cette construction une injection de dans
.
Si tu veux rechercher sur internet, regarde à "espace parfait" et "ensemble de Cantor".
Ce que je te raconte dans mon précédent message est la construction d'un plongement de l'espace de Cantor dans un espace métrique complet parfait (= sans point isolé).
salut
il me semble que si c'est un début sur les ouverts fermés alors :
A est un fermé non vide et sans point isolé donc Int(A) n'est pas vide et contient un élément a
Int(A) est un ouvert contenant a donc il existe e > 0 tel que ]a - e, a + e[ est inclus dans int(A)
A est fermé donc [a - e, a + e] est inclus dans A (même pas nécessaire)
or Int(A) est inclus dans A donc card A = card R
Ah c'est bon j'ai trouvé mon erreur c'est que
[b_n0; +∞[ est inclus dans A
Je comprends qu'on est en train d'essayer de fabriquer une fonction qui à deux suites de 0 et de 1 associe deux éléments différents de A.
Après j'ai dessiné l'ensemble de Cantor en regardant un peu sur le web et je pense avoir une intuition de ce que tu veux dire :
si j'ai une suite de 0 et de 1, (0;0;1;0;1;1...) je par de tout en haut du dessin de l'ensemble de Cantor et quand je ballade la suite de 0 et de 1, si je vois un 0 je vais à gauche et si je vois un 1 je vais dans l'ensemble de droite en descendant à chaque fois.
Ça fait comme la planche de Galton dans ma tête.
C'est bien ça qu'on veut faire ?
Je vais essayer de le rédiger...
ah oui carpediem merci
et pour montrer que R s'injecte dans ]a - e, a + e[ on peut renormaliser (a+arctan) par exemple ?
A est un fermé non vide et sans point isolé donc Int(A) n'est pas vide et contient un élément a
Ah bon ? Et comment montres-tu ça , Carpediem ? Et comment rends-tu ça compatible avec l'existence de l'ensemble de Cantor ?
ah oui c'est vrai que si je prends un point dans l'intérieur de l'ensemble de cantor alors il existe un intervalle ouvert autour de ce point entièrement contenu dans l'ensemble de cantor, ce qui est impossible vu qu'il sera trop découpé au bout d'un moment. En fait dès que 3^(-n)< longueur de l'intervalle.
En fait il y a 2^n suites à n éléments à valeur dans 0 et 1 possible et la n-ème ramification disons de l'ensemble de Cantor contient 2^n intervalles disjoints donc on a une bijection entre l'ensemble des suites à n éléments et la n ème ramification de l'ensemble de Cantor.
L'hérédité c'est ce que j'ai dis plus haut non avec mes droites et gauches ?
Si on a une suite à n+1 éléments, si le dernier est un 1 on associe l'ensemble de cantor en bas à droite et si c'est un 0 celui en bas à gauche ?
En maths ça donnerait si c'est un 0 et
si c'est un 1.
c'est bien ça ?
Ca c'est la description de l'ensemble de Cantor.
Mais ici le problème est légèrement différent. On part d'un fermé non vide sans point isolé, et on veut "mettre dedans" un ensemble de Cantor, qui n'est pas l'ensemble de Cantor standard où on part de [0,1], on coupe en trois et on jette l'ouvert au milieu, et puis rebelote ...
Je tente la construction par récurrence :
n=0:
n=1:
n=2:
Supposons l'ensemble construit au rang n et soit une suite de 0 et de 1 de longueur n.
On définit :
borne inférieure de
milieu de
milieu de
borne supérieure de
Ca ne marche pas, tu ne t'assures pas que tes intervalles contiennent des points de .
Je fais l'hérédité,
On suppose construits, pour toute suite de longueur
,
et
(qu'il vaut mieux prendre fermé qu'ouvert, pour la suite).
On pose . Puisque
n'est pas un point isolé de
, il existe
dans l'intersection de
avec l'intérieur de
, différent de
. On choisit alors des intervalles fermés
et
de centres respectivement
et
, contenus dans
, d'intérieurs non vides, disjoints, et de longueur
.
Annuler
connectez vous
topologie en post-bac