Bonjour majoru
Meilleurs voeux

En général on commence par ce genre d'intro, pour ne pas prendre les posteurs uniquement pour des instruments à son service.

De plus, on doit recopier le sujet, car ce qui est scanné n'est pas pris en compte pour le repérage des sujets traités.

Ceci dit (dont tu tiendras compte dans tes prochains posts),

Le calcul montre que tr(A,B) =(A,B) est nul lorsque A est symétrique et B antisymétrique puisque (A,B)= - (A,B) donc 2(A,B)= 0 donc (A,B) = 0

Donc chaque matrice de Sn est orthogonale à toute matrice de An, donc Sn et An sont orthogonaux.

Excusez moi , je n'ai pas l'habitude de poster dans les forum
je ferais attention a ne pas faire la meme bêtise la prochaine fois

Et merci , j'ai bien compris d'ou viens l'orthogonalité , mais je suis toujours confus en ce qui concerne la signature.

Bonjour,

Remarquons que



avec et .

OK!

Pour la signature:

Mn est un espace vectoriel de dimension n², engendré par les matrices élémentaires Eij constituées uniquement de 0 (au nombre de n²-1) et d'un unique 1 à la ième ligne jième colonne.

Tu vois bien que , pour une matrice symétrique, elle est définie dès que tu as rempli la matrice triangulaire (par exemple) inférieure, que tu complètes par symétrie. C'est à dire que tu as une combinaison linéaire des matrices Eij avec i j . Leur nombre est  : 1 sur la 1ère ligne, 2 sur la 2ème, ...n sur la nième donc 1+2+3+....+n =n(n+1)/2.

Les antisymétrique forment un espace vectoriel de base les Eij telles que i < j , qui forment l'ev supplémentaire, de dimension n²-(n(n+1)/2) = n(n-1)/2.

Il y a plus de symétriques parce qu'elles ont des diagonales quelconques (dimension n) alors que les antisymétriques ont une diagonale nulle (dimension 0).

Merci beaucoup pour votre aide !
c'est clair maintenant