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Niveau Maths sup
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Signature de permutation

Posté par
CGPP
11-03-11 à 15:42

Bonjour,

Dans un de mes livres de révision, je ne comprends pas un exemple :

soit S8 définie par :
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 5 4 8 7 3 6)
En décomposant en cycles à supports disjoints, on trouve que :
=(1,2)(3,5,8,6,7)
Jusque là, ça va.

Et ils mettent : la signature de notée ()=(-1)*(-1)4=(-1)
Et là, je ne comprends pas comment ils sont arrivés à ce résultat!

Puisque en calculant la signature, je trouve que les couples (3,4), (3,7), (4,7), (5,6), (5,7), (5,8), (6,7), (6,8) sont en inversion, ce qui me donne un nombre d'inversions pair et donc une signature paire égale à 1...

Mais je n'ai peut être pas compris le calcul d'une signature : quelqu'un pourrait il me l'expliquer?

Merci d'avance!

Posté par
Camélia Correcteur
re : Signature de permutation 11-03-11 à 15:48

Bonjour

La signature d'un cycle de longueur p est (-1)^{p-1}

dans ta liste d'inversions tu as oublié au moins (1,2)...

Posté par
CGPP
re : Signature de permutation 11-03-11 à 22:38

Alors, voilà ce qui me trompe : on dit que la signature se calcule ainsi : ()=(-1)l()avec l()=nombre de couples (i,j) tels que i<j et (i)>(j).
Or on dit aussi que la signature d'un cycle de longueur p est égale à (-1)p-1
Il s'agit donc d'une formule? C'est à dire qu'il ne faut pas faire de lien entre (p-1) et l().
Dans mon exemple ci dessus, il n'y a pas (p-1) inversions dans le cycle (35867), il y en a le double.

Et dans ce cas, j'ai une deuxième question :
dans mon exemple où l'ont fait une décomposition en une série de deux cycles (1,2) et (3,5,8,6,7), on multiplie entre elles les signatures de chacun de ces cycles pour avoir la signature de la permutation entière?

Dernière question pour dissiper tout doute : quand on parle de couple (i,j) il 'agit bien de valeurs i et j et non de position n°i ou n°j dans une liste de nombres? Idem pour (i) et (j) : il s'agit bien de la nouvelle "valeur" attribuée à i et j et non de la nouvelle position de i et de j dans une liste de nombres?

Merci d'avance!

Posté par
Camélia Correcteur
re : Signature de permutation 12-03-11 à 17:33

Dans le cycle (3,5,8,6,7): il s'agit de la permutation suivante

3\to 5\\ 5\to 8\\ 6\to 7\\ 7\to 3\\ 8\to 6

Les inversions sont
(3,7) car (5 > 3)

(5,6) car (8 > 7)

(5,7) car (8 > 3)

(5,8) car (8 > 6)

(6,7) car (7 > 3)

(6,8) car (7 > 6)

et je crois que c'est tout... La signature est donc (-1)^{6}=(-1)^4=1

Oui, on démontre que pour un cycle de longueur p la signature vaut (-1)^{p-1} mais je n'ai jamais dit qu'il y avait p-1 inversions.

Enfin, ça fait partie du cours: \varepsilon(\sigma_1 o \sigma_2)=\varepsion(\sigma_1)\varepsion(\sigma_2) et c'est pourquoi on multiplie les signatures des cycles disjoints.

Posté par
CGPP
re : Signature de permutation 16-03-11 à 00:08

Merci beaucoup! C'est bien compris, merci d'avoir passé du temps à me l'expliquer!

Posté par
Jedoniezh
re : Signature de permutation 24-03-16 à 23:15

Bonjour Camelia,

Je viens de parcourir le présent topic, et j'aimerais savoir si j'ai bien saisi, car c'est la première fois que je fais cela.

Donc :

- soit on raisonne avec l'ensemble des inversions, à savoir :
Les inversions sont (1,2), (3,4), (3,7), (4,7), (5,6), (5,7), (5,8), (6,7), (6,8), ce qui en fait un total de 9, et donc :
\epsilon=(-1)^{9}=-1

- soit on fait le produit des signatures de chaque cycle (de la décomposition) vu la propriété du cours
\varepsilon(\sigma_1 \quad o\quad \sigma_2)=\varepsilon(\sigma_1)\times \varepsilon(\sigma_2)
et on a :
\sigma=(\underbrace{1,2}_{2})(\underbrace{3,5,8,6,7}_{5})\Rightarrow \epsilon=(-1)^{2-1}\times(-1)^{5-1}=-1\times 1=-1

C'est bien cela ?

Posté par
Jedoniezh
re : Signature de permutation 25-03-16 à 12:16

Je "bascule" chez Fractal.

Posté par
Fractal
re : Signature de permutation 25-03-16 à 12:18

Le message du  24-03-16 à 23:15 est  il correct ?
Merci

Posté par
Fractal
re : Signature de permutation 26-03-16 à 17:30

Personne pour me répondre ?

Posté par
Recomic35
re : Signature de permutation 27-03-16 à 11:53

La question, c'est : qu'est-ce qui te pose problème dans le message du 24-03-16 ?

Posté par
Fractal
re : Signature de permutation 27-03-16 à 13:59

Bonjour Recomic35,

J'avais écrit :

Citation :
j'aimerais savoir si j'ai bien saisi (...) C'est bien cela ?

Je voulais donc savoir si ce que j'avais mis dans le message du  24-03-16 à 23:15  était correct.
Camelia m'a répondu (via un autre topic).
Je te remercie.



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