Bonjour,
Dans un de mes livres de révision, je ne comprends pas un exemple :
soit S8 définie par :
(1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 5 4 8 7 3 6)
En décomposant en cycles à supports disjoints, on trouve que :
=(1,2)(3,5,8,6,7)
Jusque là, ça va.
Et ils mettent : la signature de notée
(
)=(-1)*(-1)4=(-1)
Et là, je ne comprends pas comment ils sont arrivés à ce résultat!
Puisque en calculant la signature, je trouve que les couples (3,4), (3,7), (4,7), (5,6), (5,7), (5,8), (6,7), (6,8) sont en inversion, ce qui me donne un nombre d'inversions pair et donc une signature paire égale à 1...
Mais je n'ai peut être pas compris le calcul d'une signature : quelqu'un pourrait il me l'expliquer?
Merci d'avance!
Bonjour
La signature d'un cycle de longueur p est
dans ta liste d'inversions tu as oublié au moins (1,2)...
Alors, voilà ce qui me trompe : on dit que la signature se calcule ainsi : (
)=(-1)l(
)avec l(
)=nombre de couples (i,j) tels que i<j et
(i)>
(j).
Or on dit aussi que la signature d'un cycle de longueur p est égale à (-1)p-1
Il s'agit donc d'une formule? C'est à dire qu'il ne faut pas faire de lien entre (p-1) et l().
Dans mon exemple ci dessus, il n'y a pas (p-1) inversions dans le cycle (35867), il y en a le double.
Et dans ce cas, j'ai une deuxième question :
dans mon exemple où l'ont fait une décomposition en une série de deux cycles (1,2) et (3,5,8,6,7), on multiplie entre elles les signatures de chacun de ces cycles pour avoir la signature de la permutation entière?
Dernière question pour dissiper tout doute : quand on parle de couple (i,j) il 'agit bien de valeurs i et j et non de position n°i ou n°j dans une liste de nombres? Idem pour (i) et
(j) : il s'agit bien de la nouvelle "valeur" attribuée à i et j et non de la nouvelle position de i et de j dans une liste de nombres?
Merci d'avance!
Dans le cycle (3,5,8,6,7): il s'agit de la permutation suivante
Les inversions sont
(3,7) car (5 > 3)
(5,6) car (8 > 7)
(5,7) car (8 > 3)
(5,8) car (8 > 6)
(6,7) car (7 > 3)
(6,8) car (7 > 6)
et je crois que c'est tout... La signature est donc
Oui, on démontre que pour un cycle de longueur p la signature vaut mais je n'ai jamais dit qu'il y avait p-1 inversions.
Enfin, ça fait partie du cours: et c'est pourquoi on multiplie les signatures des cycles disjoints.
Bonjour Camelia,
Je viens de parcourir le présent topic, et j'aimerais savoir si j'ai bien saisi, car c'est la première fois que je fais cela.
Donc :
- soit on raisonne avec l'ensemble des inversions, à savoir :
Les inversions sont (1,2), (3,4), (3,7), (4,7), (5,6), (5,7), (5,8), (6,7), (6,8), ce qui en fait un total de 9, et donc :
- soit on fait le produit des signatures de chaque cycle (de la décomposition) vu la propriété du cours
et on a :
C'est bien cela ?
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