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Signe de la dérivée de x -> (exp(x)-1)/x^2
Bonjour,
Je dois étudier les variations de la fonction c(x)=(exp(x)-1)/x^2.
Classiquement, je trouve comme dérivée : (x*exp(x)-2*exp(x)+2)*x^3
Et là, je ne vois vraiment pas comment trouver le signe de cette dérivée !
J'ai étudié la fonction v:x -> x*exp(x)-2*exp(x)+2 mais je ne peux rien conclure sans avoir les solutions de l'équation v(x)=0.
L'une est 0, l'autre est entre 1,5 et 1,6 mais je n'ai rien de plus précis !
Comment faire ?
Merci !
Bonsoir,
D'abord fais attention, tu as mis x3 en facteur au lieu de le mettre au dénominateur (je suppose que c'est juste une erreur de frappe).
Pour la suite peu importe.
Il te faut le signe de x3 : facile c'est le signe de x, avec 0 interdit.
Et il te faut le signe de (x-2)ex + 2, qui est le dénominateur de c'(x), appelons le d(x).
Pour avoir le signe de d(x) : tu étudies sa dérivée, en espérant trouver un extremum avec un signe permettant de conclure.
Ici c'est le cas : dérive d(x) et tu trouveras facilement que d'(x)=0 pour x=1, que d(x) négative avant x=1 et positve après.
Ce qui entraine que d(1) est un minimum pour d(x) Comme d(1) est positif, d(x) est positif.
Tu peux alors conclure sur le signe de c'(x)...
Désolé, j'ai été trop vite : d(1) n'est pas positif.
d(1) = 2 - e
Donc d a deux zéros, dont l'un est effectivement x1=0 et l'autre x2, compris entre 1 et 2.
Pour d(x)=(x-2)ex + 2, sauf erreur de ma part, d(1)=-e+2,
or e=#2,7 donc -e+2<0 donc je ne peux pas conclure !
Et oui, x^3 est bien au dénominateur, merci !
poubcool, il te reste à encadrer x2 au mieux.
Puis tu récapitules tout dans un grand tableau avec d'(x), son signe, les variations de d(x), les zéros de d(x), le signe de d(x) autour des zéros et à l'intérieur, puis enfin le signe de x. Tu secoues le tout et tu peux dresser le tableau de variations de ta fonction.
Bon on a tous posté en même temps !
Donc je pose un a avec 1<a<2 et j'étudie comme ça à votre avis ?
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